גאומטריה אנליטית - הוכחת תכונות מרובעים בגאומטריה
גאומטריה אנליטית - הישר
הוכחת תכונות מרובעים בגאומטריה אנליטית
🎯 הכלים שלנו
כדי להוכיח תכונות של מרובעים, נשתמש בכלים הבאים:
שיפוע
מקביליות וניצבות
מרחק
אורכי צלעות
אמצע קטע
אלכסונים חוצים
▱ מקבילית (Parallelogram)
הגדרה: מרובע ששני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית?
דרך 1: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
\(m_{AB} = m_{DC}\) וגם \(m_{AD} = m_{BC}\)
דרך 2: זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות ושוות
\(m_{AB} = m_{DC}\) וגם \(|AB| = |DC|\)
דרך 3: האלכסונים חוצים זה את זה
אמצע AC = אמצע BD
▭ מלבן (Rectangle)
הגדרה: מקבילית עם זווית ישרה (או: כל הזוויות ישרות)
🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא מלבן?
דרך 1: קודם מוכיחים מקבילית, ואז מראים זווית ישרה
\(m_{AB} \cdot m_{AD} = -1\) (צלעות סמוכות ניצבות)
דרך 2: האלכסונים שווים וחוצים זה את זה
\(|AC| = |BD|\) ואמצע AC = אמצע BD
◇ מעוין (Rhombus)
הגדרה: מקבילית עם כל הצלעות שוות
🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין?
דרך 1: כל 4 הצלעות שוות
\(|AB| = |BC| = |CD| = |DA|\)
דרך 2: מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים
\(m_{AC} \cdot m_{BD} = -1\)
□ ריבוע (Square)
הגדרה: מלבן + מעוין = כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות
🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא ריבוע?
דרך 1: מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות
דרך 2: מעוין עם זווית ישרה
דרך 3: 4 צלעות שוות + אלכסונים שווים
📋 טבלת סיכום - תכונות מרובעים
| תכונה | מקבילית | מלבן | מעוין | ריבוע |
|---|---|---|---|---|
| צלעות נגדיות מקבילות | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| צלעות נגדיות שוות | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| כל הצלעות שוות | - | - | ✓ | ✓ |
| כל הזוויות ישרות | - | ✓ | - | ✓ |
| אלכסונים חוצים זה את זה | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| אלכסונים שווים | - | ✓ | - | ✓ |
| אלכסונים מאונכים | - | - | ✓ | ✓ |
📝 סיכום הכלים
מקבילות: \(m_1 = m_2\)
ניצבות: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
אורך: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
אמצע: \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)