גאומטריה אנליטית - מעגל העובר דרך 3 נקודות ומעגל ע
גאומטריה אנליטית - המעגל
מעגל העובר דרך 3 נקודות ומעגל עם קוטר נתון
🎯 מעגל העובר דרך 3 נקודות
עובדה: דרך 3 נקודות שאינן על קו ישר אחד עובר מעגל יחיד!
⭐ השיטה - מערכת משוואות
שלב 1: נכתוב את המשוואה הכללית: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
שלב 2: נציב כל אחת מ-3 הנקודות ונקבל 3 משוואות
שלב 3: נפתור מערכת של 3 משוואות עם 3 נעלמים (D, E, F)
שלב 4: נשלים לריבוע למציאת מרכז ורדיוס
✏️ דוגמה מפורטת
שאלה: מצאו את משוואת המעגל העובר דרך הנקודות:
A(1, 0), B(0, 1), C(2, 2)
שלב 1: נציב את A(1, 0):
\(1 + 0 + D(1) + E(0) + F = 0\)
\(D + F = -1\) ... (1)
שלב 2: נציב את B(0, 1):
\(0 + 1 + D(0) + E(1) + F = 0\)
\(E + F = -1\) ... (2)
שלב 3: נציב את C(2, 2):
\(4 + 4 + D(2) + E(2) + F = 0\)
\(2D + 2E + F = -8\) ... (3)
שלב 4: נפתור את המערכת:
מ-(1) ו-(2): D = E
נציב ב-(3): 2D + 2D + F = -8 → 4D + F = -8
מ-(1): F = -1 - D
נציב: 4D + (-1 - D) = -8 → 3D = -7 → D = -7/3
E = -7/3, F = -1 + 7/3 = 4/3
שלב 5: נכתוב את המשוואה:
\(x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x - \frac{7}{3}y + \frac{4}{3} = 0\)
מרכז: \(\left(\frac{7}{6}, \frac{7}{6}\right)\), רדיוס: \(\sqrt{\frac{49}{36} + \frac{49}{36} - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{25}{18}} = \frac{5}{3\sqrt{2}}\)
⭕ מעגל כאשר נתון הקוטר
כשנתונים שני קצוות של קוטר, יש דרך מהירה למצוא את המעגל!
אם A ו-B הם קצוות קוטר:
מרכז: אמצע AB = \(\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)
רדיוס: \(r = \frac{|AB|}{2}\) = מחצית הקוטר
✏️ דוגמה - מעגל עם קוטר נתון
שאלה: מצאו את משוואת המעגל שקוטרו AB כאשר A(1, 3) ו-B(5, 7).
שלב 1: נמצא את המרכז (אמצע AB):
\(M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (3, 5)\)
שלב 2: נמצא את הרדיוס:
אורך הקוטר: \(|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
רדיוס: \(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)
\(r^2 = 8\)
משוואת המעגל: \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 8\)
💡 תכונה חשובה - זווית היקפית על קוטר
משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא תמיד 90°!
💡 שימוש: אם יש לנו קטע AB ונקודה C כך ש-∠ACB = 90°, אז C נמצאת על המעגל שקוטרו AB!
📝 סיכום
3 נקודות: מערכת של 3 משוואות עם D, E, F
קוטר נתון: מרכז = אמצע, רדיוס = חצי קוטר
זווית היקפית על קוטר = 90°