דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד

עובר מעגל אחד ויחיד

💡 למה "שאינן על ישר אחד"?

אם שלוש נקודות על קו ישר - אי אפשר להעביר דרכן מעגל!

המעגל "עקום" ואילו הישר... ישר 😊

התשובה: נקודת החיתוך של האנכים האמצעיים!

למה זה עובד?

• מרכז המעגל צריך להיות במרחק שווה מכל 3 הקודקודים
• נקודה במרחק שווה מ-A ומ-B → על האנך האמצעי של AB
• נקודה במרחק שווה מ-B ומ-C → על האנך האמצעי של BC
• נקודת החיתוך של שני האנכים → במרחק שווה מכל השלושה!

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת,

שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

🏷️ לנקודה הזו קוראים: מרכז המעגל החוסם

(באנגלית: Circumcenter)

📝 הוכחה:

נסמן O = נקודת החיתוך של האנך האמצעי ל-AB והאנך האמצעי ל-BC

נוכיח: O גם על האנך האמצעי ל-AC

• O על האנך האמצעי ל-AB → OA = OB (משפט האנך האמצעי)
• O על האנך האמצעי ל-BC → OB = OC (משפט האנך האמצעי)
• לכן: OA = OC
• מהמשפט ההפוך: O על האנך האמצעי ל-AC! ✓

מסקנה: שלושת האנכים נפגשים ב-O, ו-OA = OB = OC = רדיוס המעגל החוסם

בכל משולש אפשר לחסום מעגל

(כלומר, קיים מעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים)

💡 ההוכחה:

שלושת קודקודי המשולש הם שלוש נקודות שאינן על ישר אחד (כי אז לא היה משולש!).

לפי המשפט הקודם - דרך 3 נקודות כאלה עובר מעגל אחד ויחיד.

🤔 למה במשולש ישר זווית המרכז על היתר?

כי זווית היקפית על קוטר = 90°!

הזווית הישרה "מסתכלת" על היתר, אז היתר חייב להיות קוטר.

🏥 בית חולים לשלושה כפרים:

סמנו את שלושת הכפרים על מפה, מצאו את מרכז המעגל החוסם - שם המרחק שווה לכולם!

📡 אנטנה לשלושה בתים:

איפה לשים אנטנת WiFi כך שהמרחק לכל שלושת הבתים יהיה שווה?

🎡 גלגל ענק:

שלוש קבינות בגלגל ענק - המרכז נמצא במרחק שווה מכולן (זה הרדיוס!)