גאומטריה של המישור - תיכונים במשולש
גאומטריה של המישור
דף 2: תיכונים במשולש
📖 הגדרה
תיכון במשולש הוא קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו.
M היא אמצע BC → לכן BM = MC
⭐ משפט 1: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת
שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
🎯 למה זה מיוחד?
דמיינו שאתם גוזרים משולש מקרטון ומנסים לאזן אותו על קצה עיפרון. הנקודה היחידה שבה המשולש יתאזן היא G - נקודת מפגש התיכונים!
לכן נקודה זו נקראת גם "מרכז כובד" או "מרכז מסה" של המשולש.
⭐ משפט 2: יחס החלוקה 2:1
נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1
(החלק הקרוב לקודקוד הוא פי 2 מהחלק האחר)
AG = 2 × GM
או במילים אחרות: AG : GM = 2 : 1
💡 דוגמה מספרית:
אם אורך התיכון AM = 12 ס"מ, אז:
• AG = 8 ס"מ (שני שלישים)
• GM = 4 ס"מ (שליש אחד)
⭐ משפט 3: התיכון מחלק לשטחים שווים
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
🤔 למה זה עובד?
לשני המשולשים ABM ו-ACM יש:
- אותו גובה - הגובה מ-A לצלע BC
- אותו בסיס - כי BM = MC (M אמצע)
לכן לפי נוסחת השטח: S = ½ × בסיס × גובה → השטחים שווים!
⭐ משפט 4: התיכון ליתר במשולש ישר זווית
במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
AM = ½ BC
או: AM = BM = MC (שלושתם שווים!)
💡 דוגמה מספרית:
אם היתר BC = 10 ס"מ, אז התיכון ליתר AM = 5 ס"מ
🔄 גם ההפך נכון!
אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע → המשולש ישר זווית (והצלע היא היתר)
✏️ דוגמה מספרית
שאלה: במשולש ABC, התיכון מקודקוד A הוא AM ואורכו 15 ס"מ. נקודת מפגש התיכונים היא G.
מצאו את אורכי הקטעים AG ו-GM.
פתרון:
לפי משפט יחס 2:1, נקודת G מחלקת את התיכון כך ש-AG = 2 × GM.
נסמן GM = x, אז AG = 2x.
AG + GM = AM
2x + x = 15
3x = 15
x = 5
תשובה: GM = 5 ס"מ, AG = 10 ס"מ
📝 סיכום דף 2 - תיכונים
הגדרה: קטע מקודקוד לאמצע הצלע שמולו
משפט 1: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת (מרכז כובד)
משפט 2: נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס 2:1
משפט 3: תיכון מחלק משולש לשני שטחים שווים
משפט 4: במשולש ישר זווית, תיכון ליתר = ½ יתר