גאומטריה של המישור - חוצי זוויות במשולש
גאומטריה של המישור
דף 3: חוצי זוויות במשולש
📖 הגדרה
חוצה זווית הוא קרן היוצאת מקודקוד הזווית
ומחלקת את הזווית לשני חלקים שווים.
∠BAD = ∠CAD (שתי הזוויות שוות)
⭐ משפט 1: חוצה הזווית כמקום גיאומטרי
חוצה הזווית הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות
הנמצאות במרחקים שווים משוקי הזווית.
🎯 מה זה אומר בפועל?
אם נקודה P נמצאת על חוצה הזווית, אז המרחק שלה מהשוק האחת = המרחק שלה מהשוק השנייה.
🔄 גם ההפך נכון: אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי הזווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית!
⭐ משפט 2: שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת
שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת.
🎯 למה זה מיוחד?
נקודה I נמצאת על חוצי הזוויות → היא במרחקים שווים מכל שלוש הצלעות!
לכן, אפשר לצייר מעגל חסום שמרכזו I ושנוגע בכל שלוש הצלעות מבפנים.
⭐ משפט 3: משפט חוצה זווית פנימית
חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית
לשני קטעים ביחס הצלעות הכולאות את הזווית.
BD/DC = AB/AC = c/b
💡 דוגמה מספרית:
במשולש ABC, AB = 6 ס"מ, AC = 9 ס"מ.
חוצה הזווית מ-A פוגש את BC בנקודה D.
אם BC = 10 ס"מ, מהם BD ו-DC?
פתרון: BD/DC = 6/9 = 2/3
נסמן BD = 2x, DC = 3x
2x + 3x = 10 → x = 2
BD = 4 ס"מ, DC = 6 ס"מ
🔄 המשפט ההפוך
אם ישר עובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמולו
ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה),
אז הישר הוא חוצה הזווית של אותו קודקוד.
בקיצור: אם BD/DC = AB/AC, אז AD הוא חוצה זווית A.
המשפט ההפוך שימושי כשרוצים להוכיח שקטע מסוים הוא חוצה זווית!
🌍 דוגמה מהחיים
📍 הצבת ממטרות:
דמיינו שיש לכם שדה משולש ואתם רוצים להציב ממטרה שתהיה במרחק שווה מכל שלוש הגדרות (הצלעות).
הפתרון: הציבו את הממטרה בנקודת מפגש חוצי הזוויות! שם היא תהיה במרחק שווה מכל הגדרות.
📝 סיכום דף 3 - חוצי זוויות
הגדרה: קרן המחלקת זווית לשני חלקים שווים
מקום גיאומטרי: נקודות במרחקים שווים משוקי הזווית
מפגש: 3 חוצי זוויות נפגשים בנקודה אחת = מרכז מעגל חסום
משפט חלוקה: BD/DC = AB/AC