גאומטריה של המישור - משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית)
גאומטריה של המישור
דף 7: משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית)
🤔 למה צריך משפטי דמיון?
לפי ההגדרה, כדי להוכיח שמשולשים דומים צריך לבדוק:
- 3 זוגות זוויות שוות
- 3 זוגות צלעות ביחס קבוע
זה הרבה עבודה! 😅
משפטי הדמיון נותנים לנו "קיצורי דרך" - מספיק לבדוק פחות תנאים!
⭐ משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית)
אם שתי זוויות במשולש אחד שוות
לשתי זוויות במשולש השני,
אז המשולשים דומים.
∠A = ∠D וגם ∠B = ∠E
↓
△ABC ~ △DEF
💡 למה מספיק רק שתי זוויות?
תזכורת חשובה: סכום הזוויות במשולש = 180°
אם שתי זוויות שוות, אז הזווית השלישית בהכרח שווה גם!
דוגמה:
אם ∠A = ∠D = 50° ו-∠B = ∠E = 70°
אז: ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°
וגם: ∠F = 180° - 50° - 70° = 60°
→ ∠C = ∠F באופן אוטומטי!
מסקנה: מספיק לבדוק 2 זוויות, השלישית "מתקבלת בחינם"! 🎁
✏️ דוגמה 1: זיהוי דמיון
שאלה: במשולש ABC: ∠A = 40°, ∠B = 75°
במשולש DEF: ∠D = 40°, ∠F = 65°
האם המשולשים דומים?
פתרון:
שלב 1: נחשב את הזוויות החסרות
∠C = 180° - 40° - 75° = 65°
∠E = 180° - 40° - 65° = 75°
שלב 2: נשווה
∠A = ∠D = 40° ✓
∠B = ∠E = 75° ✓
מסקנה: לפי משפט ז.ז., △ABC ~ △DEF
✏️ דוגמה 2: שימוש בדמיון לחישוב צלע
נתון: בשרטוט, DE || BC.
AD = 4, DB = 6, DE = 5.
מצאו את BC.
פתרון:
שלב 1: הוכחת דמיון
∠A משותפת לשני המשולשים ✓
∠ADE = ∠ABC (זוויות מתאימות, DE || BC) ✓
לפי ז.ז.: △ADE ~ △ABC
שלב 2: חישוב יחס הדמיון
k = AB/AD = (4+6)/4 = 10/4 = 2.5
שלב 3: חישוב BC
BC/DE = k
BC = k × DE = 2.5 × 5 = 12.5
📌 מתי נשתמש במשפט ז.ז.?
ז.ז. הוא המשפט הנפוץ ביותר! נשתמש בו כשיש:
- זווית משותפת - אותה זווית בשני המשולשים
- ישרים מקבילים - יוצרים זוויות מתאימות/מתחלפות שוות
- זוויות נתונות - נתון גודל הזוויות
- זוויות ישרות - כשיש שתי זוויות של 90°
💡 טיפ: ז.ז. לא דורש מידע על אורכי צלעות כלל!
🌍 דוגמה מהחיים: מדידת גובה עץ
רוצים לדעת את גובה העץ בלי לטפס עליו!
הרעיון: קרני השמש מקבילות → יוצרות זוויות שוות!
נתונים: גובה המקל = 1.5 מ', צל המקל = 0.8 מ', צל העץ = 12 מ'
פתרון:
המשולשים דומים לפי ז.ז. (זווית ישרה + זווית קרן השמש)
גובה העץ / גובה המקל = צל העץ / צל המקל
גובה העץ / 1.5 = 12 / 0.8
גובה העץ = 1.5 × 15 = 22.5 מ'
📝 סיכום דף 7 - משפט ז.ז.
המשפט: 2 זוויות שוות → משולשים דומים
למה מספיק 2? הזווית השלישית נקבעת אוטומטית (סכום = 180°)
מתי נשתמש? זווית משותפת, קווים מקבילים, זוויות ישרות
ז.ז. = המשפט הכי נפוץ!