\(c^2 = a^2 + b^2\)

💡 הסבר גיאומטרי:

במשולש ישר-זווית שנוצר מהמרכז, הקודקוד, ונקודת b:

• ניצב אחד באורך a (מהמרכז לקודקוד)
• ניצב שני באורך b
• היתר באורך c (מהמרכז למוקד)

⚠️ השוואה לאליפסה:

האקסצנטריות מודדת כמה ה"פתוחה" ההיפרבולה

\(e = \frac{c}{a}\)

💡 בהיפרבולה תמיד:

\(e > 1\)

כי \(c > a\) (המוקד רחוק מהמרכז יותר מהקודקוד)

משמעות:

• \(e\) קרוב ל-1: הענפים "סגורים" יותר (אסימפטוטות בזווית קטנה)
• \(e\) גדול: הענפים "פתוחים" יותר (אסימפטוטות בזווית גדולה)

✏️ דוגמה:

בהיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)

\(a = 3, c = 5\)

\(e = \frac{5}{3} \approx 1.67\)

אסימפטוטות הן ישרים שההיפרבולה מתקרבת אליהם כש-x או y שואפים לאינסוף, אך לעולם אינה נוגעת בהם.

💡 טריק לזכירה:

משוואת האסימפטוטות מתקבלת מהצבת 0 במקום 1:

\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)

\(\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2}\) → \(y = \pm \frac{b}{a}x\)

כאשר \(a = b\), ההיפרבולה נקראת שווה צדדים או שוות צלעות

תכונות מיוחדות:

• משוואה: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\) או \(x^2 - y^2 = a^2\)
• אסימפטוטות: \(y = \pm x\) (שיפוע 1 ו-(-1))
• אקסצנטריות: \(e = \sqrt{2} \approx 1.414\)
• הזווית בין האסימפטוטות: 90°

✏️ דוגמה: \(x^2 - y^2 = 4\)

כאן \(a^2 = b^2 = 4\) → \(a = b = 2\)

אסימפטוטות: \(y = x\) ו-\(y = -x\)

פרמטר (p) הוא המרחק מהמוקד לנקודה על ההיפרבולה, כאשר הקו ניצב לציר הראשי

\(p = \frac{b^2}{a}\)

💡 הלטוס רקטום (Latus Rectum):

מיתר העובר דרך המוקד וניצב לציר הראשי

אורכו: \(2p = \frac{2b^2}{a}\)

✏️ דוגמה:

בהיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)

\(a = 3, b = 4\)

\(p = \frac{16}{3} \approx 5.33\)

עבור נקודה \(P(x_0, y_0)\) על ההיפרבולה \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\):

ציר ראשי אופקי:

אם הנקודה על הענף הימני (\(x_0 > 0\)):

\(PF_1 = ex_0 - a\)   ,   \(PF_2 = ex_0 + a\)

אם הנקודה על הענף השמאלי (\(x_0 < 0\)):

\(PF_1 = -ex_0 + a\)   ,   \(PF_2 = -ex_0 - a\)

💡 נוסחה כללית (בערך מוחלט):

\(PF_1 = |ex_0 - a|\)   ,   \(PF_2 = |ex_0 + a|\)

וכמובן: \(|PF_1 - PF_2| = 2a\)

נתונה ההיפרבולה: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

מצאו את כל הפרמטרים.