היפרבולה 3 בניית משוואה
היפרבולה
דף 3: בניית משוואת היפרבולה מנתונים
📐 עקרון הבנייה
כדי לבנות משוואת היפרבולה קנונית צריך למצוא:
- את \(a^2\) ואת \(b^2\)
- את סוג ההיפרבולה (ציר אופקי או אנכי)
💡 תזכורת הנוסחאות:
- \(c^2 = a^2 + b^2\)
- \(e = \frac{c}{a}\)
- אסימפטוטות (אופקי): \(y = \pm \frac{b}{a}x\)
1️⃣ נתונים: מוקדים וקודקודים
דוגמה 1:
מוקדים: \(F_1(5,0), F_2(-5,0)\)
קודקודים: \(A_1(3,0), A_2(-3,0)\)
מצאו את משוואת ההיפרבולה.
פתרון:
שלב 1: זיהוי סוג
המוקדים והקודקודים על ציר x → ציר ראשי אופקי
שלב 2: מציאת a ו-c
\(c = 5\) (מרחק מהמרכז למוקד)
\(a = 3\) (מרחק מהמרכז לקודקוד)
שלב 3: מציאת b
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(25 = 9 + b^2\)
\(b^2 = 16\)
תשובה: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
2️⃣ נתונים: מוקדים ואקסצנטריות
דוגמה 2:
מוקדים: \((0, \pm 10)\)
אקסצנטריות: \(e = 2\)
מצאו את משוואת ההיפרבולה.
פתרון:
שלב 1: זיהוי סוג
המוקדים על ציר y → ציר ראשי אנכי
שלב 2: מציאת c
\(c = 10\)
שלב 3: מציאת a מהאקסצנטריות
\(e = \frac{c}{a}\)
\(2 = \frac{10}{a}\)
\(a = 5\) → \(a^2 = 25\)
שלב 4: מציאת b
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(100 = 25 + b^2\)
\(b^2 = 75\)
תשובה: \(\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{75} = 1\)
3️⃣ נתונות: אסימפטוטות ומוקדים
דוגמה 3:
אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{3}{4}x\)
מוקדים: \((\pm 5, 0)\)
מצאו את משוואת ההיפרבולה.
פתרון:
שלב 1: זיהוי סוג
המוקדים על ציר x → ציר ראשי אופקי
\(c = 5\)
שלב 2: מהאסימפטוטות
בציר אופקי: \(\frac{b}{a} = \frac{3}{4}\)
נסמן: \(b = 3k, a = 4k\) לאיזה k
שלב 3: משתמשים ב-\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(25 = 16k^2 + 9k^2\)
\(25 = 25k^2\)
\(k^2 = 1 \Rightarrow k = 1\)
שלב 4: מציאת a², b²
\(a = 4, b = 3\)
\(a^2 = 16, b^2 = 9\)
תשובה: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)
4️⃣ נתונות: אסימפטוטות וקודקוד
דוגמה 4:
אסימפטוטות: \(y = \pm 2x\)
קודקוד: \((3, 0)\)
מצאו את משוואת ההיפרבולה.
פתרון:
שלב 1: זיהוי סוג
הקודקוד על ציר x → ציר ראשי אופקי
\(a = 3\)
שלב 2: מהאסימפטוטות
\(\frac{b}{a} = 2\)
\(\frac{b}{3} = 2\)
\(b = 6\)
תשובה: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1\)
5️⃣ נתונה: נקודה על ההיפרבולה
דוגמה 5:
היפרבולה עם ציר ראשי אופקי
עוברת דרך הנקודה \((5, \frac{16}{3})\)
אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{4}{3}x\)
מצאו את משוואת ההיפרבולה.
פתרון:
שלב 1: מהאסימפטוטות
\(\frac{b}{a} = \frac{4}{3}\) → \(b = \frac{4a}{3}\)
שלב 2: המשוואה הכללית
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
שלב 3: מציבים את הנקודה
\(\frac{25}{a^2} - \frac{(\frac{16}{3})^2}{(\frac{4a}{3})^2} = 1\)
\(\frac{25}{a^2} - \frac{\frac{256}{9}}{\frac{16a^2}{9}} = 1\)
\(\frac{25}{a^2} - \frac{256}{16a^2} = 1\)
\(\frac{25}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1\)
\(\frac{9}{a^2} = 1\)
\(a^2 = 9\)
שלב 4: מציאת b²
\(b = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4\) → \(b^2 = 16\)
תשובה: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
6️⃣ נתון: הפרש מרחקים למוקדים
דוגמה 6:
מוקדים: \((\pm 13, 0)\)
הפרש המרחקים מכל נקודה על ההיפרבולה למוקדים: 10
מצאו את משוואת ההיפרבולה.
פתרון:
שלב 1: מהמוקדים
\(c = 13\)
ציר ראשי אופקי (מוקדים על ציר x)
שלב 2: מהפרש המרחקים
\(|PF_1 - PF_2| = 2a = 10\)
\(a = 5\)
שלב 3: מציאת b
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(169 = 25 + b^2\)
\(b^2 = 144\)
תשובה: \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1\)
🔍 זיהוי פרמטרים ממשוואה
דוגמה 7:
נתונה המשוואה: \(9x^2 - 4y^2 = 36\)
מצאו את כל הפרמטרים.
פתרון:
שלב 1: הופכים לצורה קנונית (מחלקים ב-36)
\(\frac{9x^2}{36} - \frac{4y^2}{36} = 1\)
\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)
שלב 2: זיהוי פרמטרים
x² עם + → ציר אופקי
\(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\)
\(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
\(c = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\)
תשובה:
- קודקודים: \((\pm 2, 0)\)
- מוקדים: \((\pm \sqrt{13}, 0)\)
- אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{3}{2}x\)
- אקסצנטריות: \(e = \frac{\sqrt{13}}{2}\)
💡 טיפים לבניית משוואה
ראשית: זהו את סוג הציר הראשי
הפרש מרחקים: = 2a
השתמשו ב: \(c^2 = a^2 + b^2\)
📝 סיכום דף 3
לבניית משוואה צריך: a² ו-b² + סוג הציר
משתמשים ב: \(c^2 = a^2 + b^2\), \(e = \frac{c}{a}\), אסימפטוטות