שאלה 1:

נתונה ההיפרבולה: \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1\)

מצאו: a, b, c, קודקודים, מוקדים, אסימפטוטות, אקסצנטריות.

פתרון:

• ציר ראשי: אופקי (x² עם +)
• \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
• \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
• \(c = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\)
• קודקודים: \((\pm 5, 0)\)
• מוקדים: \((\pm \sqrt{34}, 0)\)
• אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{3}{5}x\)
• אקסצנטריות: \(e = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx 1.17\)

שאלה 2:

נתונה ההיפרבולה: \(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1\)

מצאו: a, b, c, קודקודים, מוקדים, אסימפטוטות.

פתרון:

• ציר ראשי: אנכי (y² עם +)
• \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)
• \(b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\)
• \(c = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
• קודקודים: \((0, \pm 4)\)
• מוקדים: \((0, \pm 2\sqrt{5})\)
• אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{4}{2}x = \pm 2x\) (שימו לב: a/b בציר אנכי!)

שאלה 3:

נתונה המשוואה: \(4x^2 - 9y^2 = 36\)

הביאו לצורה קנונית ומצאו את הפרמטרים.

פתרון:

מחלקים ב-36:

\(\frac{4x^2}{36} - \frac{9y^2}{36} = 1\)

\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)

• \(a = 3, b = 2\)
• \(c = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
• קודקודים: \((\pm 3, 0)\)
• מוקדים: \((\pm \sqrt{13}, 0)\)

שאלה 4:

שרטטו את ההיפרבולה \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)

סמנו: קודקודים, מוקדים, אסימפטוטות.

פתרון:

\(a = 2, b = 3, c = \sqrt{13} \approx 3.6\)

שאלה 5:

בנו משוואת היפרבולה עם:

מוקדים: \((\pm 5, 0)\)

קודקודים: \((\pm 4, 0)\)

פתרון:

• ציר אופקי (מוקדים וקודקודים על ציר x)
• \(c = 5, a = 4\)
• \(b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9\)

תשובה: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

שאלה 6:

בנו משוואת היפרבולה עם:

מוקדים: \((0, \pm 6)\)

אקסצנטריות: \(e = 1.5\)

פתרון:

• ציר אנכי (מוקדים על ציר y)
• \(c = 6\)
• \(e = \frac{c}{a} = 1.5\) → \(a = \frac{6}{1.5} = 4\)
• \(b^2 = 36 - 16 = 20\)

תשובה: \(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{20} = 1\)

שאלה 7:

בנו משוואת היפרבולה עם:

אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{2}{3}x\)

עוברת דרך הנקודה \((6, 2)\)

פתרון:

ציר אופקי, \(\frac{b}{a} = \frac{2}{3}\) → \(b = \frac{2a}{3}\)

מציבים את הנקודה:

\(\frac{36}{a^2} - \frac{4}{\frac{4a^2}{9}} = 1\)

\(\frac{36}{a^2} - \frac{9}{a^2} = 1\)

\(\frac{27}{a^2} = 1\) → \(a^2 = 27\)

\(b^2 = \frac{4 \cdot 27}{9} = 12\)

תשובה: \(\frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{12} = 1\)

שאלה 8:

מצאו את משוואות האסימפטוטות של \(9x^2 - 16y^2 = 144\)

פתרון:

צורה קנונית: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

\(a = 4, b = 3\)

אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{3}{4}x\)

שאלה 9:

מהי הזווית בין האסימפטוטות של היפרבולה שווה צדדים \(x^2 - y^2 = 1\)?

פתרון:

אסימפטוטות: \(y = x\) ו-\(y = -x\)

שיפועים: \(m_1 = 1, m_2 = -1\)

\(m_1 \cdot m_2 = -1\) → הישרים ניצבים

תשובה: 90°

1. מצאו את כל הפרמטרים של \(\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1\)
2. הביאו לצורה קנונית: \(25y^2 - 4x^2 = 100\)
3. בנו משוואה עם קודקודים \((0, \pm 3)\) ומוקדים \((0, \pm 5)\)
4. בנו משוואה עם אסימפטוטות \(y = \pm x\) ו-\(c = 4\)

תשובות:

1. a=6, b=8, c=10

2. \(\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{25} = 1\)

3. \(\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1\)

4. \(\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\)