שאלה 1:

מצאו את נקודות החיתוך של ההיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)

עם הישר \(y = x - 1\)

פתרון:

מציבים \(y = x - 1\):

\(\frac{x^2}{9} - \frac{(x-1)^2}{4} = 1\)

כופלים ב-36:

\(4x^2 - 9(x^2 - 2x + 1) = 36\)

\(4x^2 - 9x^2 + 18x - 9 = 36\)

\(-5x^2 + 18x - 45 = 0\)

\(5x^2 - 18x + 45 = 0\)

\(\Delta = 324 - 900 = -576 < 0\)

אין נקודות חיתוך - הישר זר להיפרבולה

שאלה 2:

מצאו את ערכי k שעבורם הישר \(y = 2x + k\)

משיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1\)

פתרון:

מציבים \(y = 2x + k\):

\(\frac{x^2}{4} - \frac{(2x+k)^2}{16} = 1\)

כופלים ב-16:

\(4x^2 - (4x^2 + 4kx + k^2) = 16\)

\(4x^2 - 4x^2 - 4kx - k^2 = 16\)

\(-4kx - k^2 - 16 = 0\)

זו משוואה לינארית! (המקדם של x² התאפס)

זה קורה כי שיפוע הישר (m=2) שווה לשיפוע האסימפטוטה (\(\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2\))

הישר מקביל לאסימפטוטה - חותך בנקודה אחת לכל k (ולא משיק!)

שאלה 3:

מצאו את ערכי m שעבורם הישר \(y = mx + 3\)

משיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)

פתרון:

מציבים ודורשים Δ = 0:

\(\frac{x^2}{9} - \frac{(mx+3)^2}{4} = 1\)

כופלים ב-36:

\(4x^2 - 9(m^2x^2 + 6mx + 9) = 36\)

\((4 - 9m^2)x^2 - 54mx - 81 - 36 = 0\)

\((4 - 9m^2)x^2 - 54mx - 117 = 0\)

תנאי השקה: \(\Delta = 0\)

\((-54m)^2 - 4(4-9m^2)(-117) = 0\)

\(2916m^2 + 468(4-9m^2) = 0\)

\(2916m^2 + 1872 - 4212m^2 = 0\)

\(-1296m^2 + 1872 = 0\)

\(m^2 = \frac{1872}{1296} = \frac{13}{9}\)

תשובה: \(m = \pm \frac{\sqrt{13}}{3}\)

שאלה 4:

מצאו את משוואת המשיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

בנקודה \((5, \frac{9}{4})\)

פתרון:

נוסחת המשיק: \(\frac{x \cdot x_0}{a^2} - \frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1\)

מציבים:

\(\frac{x \cdot 5}{16} - \frac{y \cdot \frac{9}{4}}{9} = 1\)

\(\frac{5x}{16} - \frac{y}{4} = 1\)

כופלים ב-16:

\(5x - 4y = 16\)

משוואת המשיק: \(5x - 4y = 16\)

שאלה 5:

מצאו את שיפוע המשיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)

בנקודה \((4, 3\sqrt{3})\)

פתרון:

נוסחת שיפוע המשיק: \(m = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)

מציבים:

\(m = \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{36}{12\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)

תשובה: \(m = \sqrt{3}\)

שאלה 6:

נתונה היפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)

נקודה P על ההיפרבולה נמצאת במרחק 2 מהמוקד \(F_1\).

מהו מרחקה מהמוקד \(F_2\)?

פתרון:

מהגדרת ההיפרבולה: \(|PF_1 - PF_2| = 2a = 6\)

נתון: \(PF_1 = 2\)

אם P על הענף הקרוב ל-\(F_1\):

\(PF_2 - PF_1 = 6\)

\(PF_2 - 2 = 6\)

\(PF_2 = 8\)

תשובה: \(PF_2 = 8\)

שאלה 7:

נתונה היפרבולה \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

מצאו את מרחקי הנקודה \(P(8, y_0)\) משני המוקדים.

פתרון:

\(a = 4, b = 3, c = 5, e = \frac{5}{4}\)

נוסחאות המרחק (לענף ימני, \(x_0 > 0\)):

\(PF_1 = ex_0 - a = \frac{5}{4} \cdot 8 - 4 = 10 - 4 = 6\)

\(PF_2 = ex_0 + a = \frac{5}{4} \cdot 8 + 4 = 10 + 4 = 14\)

בדיקה: \(|PF_1 - PF_2| = |6 - 14| = 8 = 2a\) ✓

תשובה: \(PF_1 = 6, PF_2 = 14\)

שאלה 8:

נתונה היפרבולה \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)

כתבו את משוואת ההיפרבולה הצמודה לה ומצאו את מוקדיה.

פתרון:

היפרבולה צמודה:

\(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{25} = 1\)

בצמודה: \(a' = 4, b' = 5\)

\(c' = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\)

מוקדי ההיפרבולה הצמודה: \((0, \pm \sqrt{41})\)

שאלה 9:

בדקו היכן נמצאת הנקודה \((4, 2)\)

ביחס להיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)

פתרון:

מחשבים: \(S = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}\)

\(S = \frac{16}{9} - \frac{4}{4} = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9} < 1\)

הנקודה מחוץ להיפרבולה (באזור הענפים)

שאלה 10:

נתונה היפרבולה עם מוקדים \(F_1(6, 0), F_2(-6, 0)\)

והאסימפטוטות שלה הן \(y = \pm \frac{4}{3}x\)

1. מצאו את משוואת ההיפרבולה.
2. מצאו את משוואות המשיקים להיפרבולה המקבילים לישר \(y = 2x\)

פתרון:

א.

\(c = 6\), ציר אופקי

מהאסימפטוטות: \(\frac{b}{a} = \frac{4}{3}\) → \(b = \frac{4a}{3}\)

\(c^2 = a^2 + b^2\)

\(36 = a^2 + \frac{16a^2}{9} = \frac{25a^2}{9}\)

\(a^2 = \frac{324}{25}\)

\(b^2 = 36 - \frac{324}{25} = \frac{576}{25}\)

\(\frac{25x^2}{324} - \frac{25y^2}{576} = 1\)

או: \(\frac{x^2}{12.96} - \frac{y^2}{23.04} = 1\)

ב.

משיק מקביל ל-\(y = 2x\): \(y = 2x + k\)

מציבים ודורשים \(\Delta = 0\):

\(\frac{x^2}{12.96} - \frac{(2x+k)^2}{23.04} = 1\)

לאחר פיתוח וישום תנאי ההשקה:

\(k^2 = 4 \cdot 12.96 - 23.04 = 51.84 - 23.04 = 28.8\)

\(k = \pm \sqrt{28.8} = \pm 5.37\)

המשיקים: \(y = 2x \pm \sqrt{28.8}\)

1. מצאו את נקודות החיתוך של \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1\) עם \(y = x + 2\)
2. מצאו את משוואת המשיק ב-\((6, 4)\) להיפרבולה \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1\)
3. P על \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1\) ו-\(PF_1 = 4\). מצאו \(PF_2\).
4. מצאו את אורך המיתר של \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\) הנחתך ע"י \(y = 1\)

תשובות:

1. \((\frac{8}{3}, \frac{14}{3})\) ו-\((-4, -2)\)

2. \(6x - y = 32\)

3. \(PF_2 = 14\)

4. \(\frac{2\sqrt{117}}{3}\)