טעויות נפוצות והוכחות שגויות — עם הסבר למה זה לא ה

⚠️ טעויות נפוצות באינדוקציה – ומהי הוכחה נכונה

כיצד מזהים הוכחה תקינה, מהם הכשלים הנפוצים, ואיך מסבירים לתלמידים את ההבדל בין הוכחה אמיתית להסתמכות על דוגמאות

❌ טעות 1: “בדקנו כמה ערכים, ולכן זה נכון”

תלמידים רבים מאמינים שאם בדקו את הטענה עבור \(n=1,2,3,4\) והיא הייתה נכונה – אז “הטענה נכונה תמיד”.

זוהי טעות יסודית. בדיקת דוגמאות היא כלי להבנה, אך איננה מוכיחה כלום.

דוגמה:

הטענה: \(n^2 + n\) זוגי לכל \(n\in\mathbb{N}\)

בודקים: \(1^2+1=2\), \(2^2+2=6\), \(3^2+3=12\) → הכול עובד.

ועדיין – זו לא הוכחה! הוכחה אמיתית:

\(n^2+n = n(n+1)\) אחד מהם זוגי → המוצר זוגי. זוהי הוכחה מלאה (ללא אינדוקציה בכלל!).

❌ טעות 2: בלבול בין “הטענה הכללית” לבין “הנחת האינדוקציה”

התלמידים חושבים שההנחה \(P(k)\) “חייבת להיות נכונה” לפני שממשיכים. זה שגוי.

הנחת האינדוקציה היא לא קביעה של אמת, אלא כלי עבודה. גם אם איננו יודעים אם היא נכונה – אנו מראים שאם היא נכונה, אז הטענה נכונה עבור המספר הבא.

דוגמה קצרה:

בשלב הצעד: מניחים \(P(k)\) ומוכיחים \(P(k+1)\).

זו תבנית לוגית מסוג: “אם … אז …” לא "אנחנו בטוחים ש־P(k) נכון".

❌ טעות 3: דילוג על שלב הבסיס – “ברור שזה נכון עבור n=1”

שלב הבסיס הוא חלק חיוני מההוכחה, כי הוא “מתחיל את השרשרת”.

אם דולגים עליו → כל ההוכחה קורסת, אפילו אם הצעד נכון לחלוטין.

דוגמה:

הטענה: \(2^n \ge n+1\)

  • שלב הבסיס: \(n=1\): \(2\ge2\) ✔ נכון.
  • אם מדלגים עליו – ההוכחה אינה שלמה.

רק לאחר בדיקת הבסיס אפשר לעבור לצעד: \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\)

❌ טעות 4: צעד אינדוקטיבי שגוי – “קפיצת חשבון”

טעויות מתרחשות כאשר משתמשים בצורה שגויה ב־P(k), או מנסים להגיע ל־P(k+1) בלי היגיון מתמטי אמיתי.

דוגמה שגויה:

הטענה: \(1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

“הוכחה” שגויה של תלמיד:

“נניח שזה נכון ל־k. אז זה בטוח גם ל־k+1, כי סתם מוסיפים עוד מספר אחד.”

❌ אין שימוש ב־P(k), אין פירוט אלגברי, אין היגיון.

ההוכחה הנכונה:

\[ 1+2+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2} \] נוסיף \(k+1\) לשני האגפים: \[ 1+2+\dots+k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \] נוציא גורם משותף: \[ (k+1)\left(\frac{k}{2}+1\right) = (k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \] וזה בדיוק ניסוח הטענה עבור \(k+1\).

❌ טעות 5: הוכחה שנשמעת משכנעת — אבל לא חוקית

“הוכחה” שגויה מפורסמת – כל החיות באותו גודל

הטענה המומצאת (כדי ללמד אינדוקציה): “All horses are the same size.”

ה"הוכחה":

  • בסיס: עבור סוס אחד – כל הסוסים באותו גודל ✔.
  • צעד: נניח שקיים k סוסים שהם באותו גודל.
  • נוכיח עבור k+1 סוסים: מוציאים אחד מהקבוצה → הקבוצה של k סוסים באותו גודל. מוציאים אחר מהקבוצה → גם הקבוצה הזו “באותו גודל”. ולכן כולם אותו גודל.

מה הטעות?

עבור k=1 אין חפיפה בין שתי הקבוצות. המעבר מ־1 ל־2 נכשל. לכן ההוכחה “נראית” תקינה, אך הצעד האינדוקטיבי אינו חוקי.

🖼 חלק ו': ויזואליזציה – "שרשרת דומינו"

אינדוקציה דומה לשרשרת של אבני דומינו:

בסיס k k+1

אם הראשונה עומדת – אבל השנייה לא מקבלת “דחיפה” – השרשרת לא נופלת. זהו בדיוק הרעיון של אינדוקציה.