אי שוויונות
אי שוויונות
דף הסבר: ממעלה ראשונה, מערכות "וגם"/"או", וממעלה שנייה
📚 סימני אי שוויון
בין שתי תבניות מתמטיות יתכנו היחסים הבאים:
| סימן | משמעות | דוגמה |
|---|---|---|
| = | שווה | \(3 + 2 = 5\) |
| ≠ | שונה | \(3 \neq 5\) |
| > | גדול מ- | \(7 > 3\) |
| < | קטן מ- | \(2 < 5\) |
| ≥ | גדול או שווה | \(x \geq 3\) |
| ≤ | קטן או שווה | \(x \leq 5\) |
⚠️ כלל חשוב מאוד!
פותרים אי שוויון כמו משוואה רגילה, פרט להבדל אחד:
כשכופלים או מחלקים במספר שלילי - הופכים את כיוון אי השוויון!
דוגמה:
\(-2x > 6\)
מחלקים ב-(-2), הופכים את הסימן:
\(x < -3\)
📐 פתרון אי שוויון ממעלה ראשונה
✏️ דוגמה 1: פתור \(3x - 5 > 7\)
\(3x - 5 > 7\)
\(3x > 12\)
\(x > 4\)
✏️ דוגמה 2: פתור \(-4x + 2 \leq 10\)
\(-4x + 2 \leq 10\)
\(-4x \leq 8\)
מחלקים ב-(-4), הופכים:
\(x \geq -2\)
📏 ציור אי שוויון על ציר המספרים
| אי שוויון | הנקודה | ציור |
|---|---|---|
| \(x > a\) או \(x < a\) | עיגול ריק ○ (לא כולל) |
|
| \(x \geq a\) או \(x \leq a\) | עיגול מלא ● (כולל) |
🔗 מערכת "וגם" (∩)
במערכת "וגם" מחפשים את התחום המשותף לשני התנאים
x צריך לקיים את שני התנאים בו-זמנית
✏️ דוגמה: \(x > 2\) וגם \(x < 5\)
תשובה: 2 < x < 5
החלק שנמצא תחת שני הקווים
✏️ דוגמה נוספת: \(x > 5\) וגם \(x < 2\)
תשובה: אין פתרון (∅)
אין חלק משותף
⚡ מערכת "או" (∪)
במערכת "או" מחפשים x המקיים לפחות אחד מהתנאים
x צריך לקיים תנאי אחד או את השני (או שניהם)
✏️ דוגמה: \(x > 5\) או \(x < 2\)
תשובה: x < 2 או x > 5
כל מה שנמצא תחת לפחות אחד מהקווים
⚖️ השוואה: "וגם" מול "או"
| "וגם" (∩) | "או" (∪) | |
|---|---|---|
| משמעות | שני התנאים ביחד | לפחות תנאי אחד |
| מה מחפשים | חיתוך (משותף) | איחוד (הכל) |
| בציור | תחת שני הקווים | תחת לפחות קו אחד |
📈 אי שוויון ממעלה שנייה
אי שוויון ממעלה שנייה הוא אי שוויון מהצורות:
הפתרון מתבסס על גרף הפרבולה!
📝 שלבי פתרון אי שוויון ממעלה שנייה
שלב א': פתור את המשוואה \(ax^2 + bx + c = 0\)
מצא את שורשי המשוואה (נקודות החיתוך עם ציר x)
שלב ב': שרטט את הפרבולה
a > 0
פרבולה מחייכת 😊
∪
a < 0
פרבולה עצובה 😢
∩
שלב ג': פתור לפי סוג אי השוויון
📊 סוגי אי שוויון והפתרון
| אי שוויון | השאלה | מה מחפשים |
|---|---|---|
| \(f(x) > 0\) | היכן הפרבולה מעל ציר x? | תחומי חיוביות |
| \(f(x) \geq 0\) | היכן הפרבולה מעל או על ציר x? | חיוביות + שורשים |
| \(f(x) < 0\) | היכן הפרבולה מתחת לציר x? | תחומי שליליות |
| \(f(x) \leq 0\) | היכן הפרבולה מתחת או על ציר x? | שליליות + שורשים |
✏️ דוגמה מפורטת
פתור: \(x^2 - 4x - 5 > 0\)
שלב א': פתרון המשוואה
\(x^2 - 4x - 5 = 0\)
\((x-5)(x+1) = 0\)
\(x_1 = 5, \quad x_2 = -1\)
שלב ב': שרטוט הפרבולה
a = 1 > 0 → פרבולה מחייכת
נקודות חיתוך עם ציר x: (-1, 0) ו-(5, 0)
שלב ג': מציאת התשובה
מחפשים היכן הפרבולה מעל ציר x (תחומי חיוביות)
תשובה: x < -1 או x > 5
✏️ דוגמה נוספת
פתור: \(x^2 - 4x - 5 \leq 0\)
אותה פרבולה כמו קודם, אבל עכשיו מחפשים היכן היא מתחת או על ציר x
תשובה: -1 ≤ x ≤ 5
עיגולים מלאים כי יש ≤ (כולל שווה)
💡 טיפים למבחן
כפל/חילוק בשלילי: הופכים סימן!
"וגם": חיתוך (משותף)
"או": איחוד (הכל)
מעלה שנייה: תמיד לשרטט פרבולה!
📝 סיכום
מעלה ראשונה: פתור כמו משוואה, זכור להפוך סימן!
"וגם" = חיתוך | "או" = איחוד
מעלה שנייה: שרטט פרבולה, מצא תחומי חיוביות/שליליות