פונקציה צוברת שטח - אינטגרל
∫ פונקציה צוברת שטח
הקשר בין אינטגרל לשטח משתנה
🎯 מה זו פונקציה צוברת שטח?
פונקציה צוברת שטח היא פונקציה שמודדת את השטח המצטבר מתחת לגרף של פונקציה אחרת, כאשר הגבול העליון משתנה.
\(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)
💡 במילים: F(x) מודדת כמה שטח נצבר מתחת לגרף f מהנקודה a עד הנקודה x.
📊 הסבר ויזואלי
F(x) = השטח הצבוע (מ-a עד x)
ככל ש-x גדל → השטח גדל → F(x) גדל
⭐ המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי
אם \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\), אז:
\(F'(x) = f(x)\)
💡 במילים פשוטות:
הנגזרת של פונקציה צוברת שטח היא הפונקציה שמתחתיה צוברים!
🔄 הקשר:
אינטגרל וגזירה הן פעולות הפוכות - הנגזרת "מבטלת" את האינטגרל!
✏️ דוגמה 1: חישוב בסיסי
נתונה: \(F(x) = \int_1^x (3t^2 + 2t) \, dt\)
מצאו: \(F'(x)\)
פתרון:
לפי המשפט היסודי:
\(F'(x) = 3x^2 + 2x\)
תשובה: \(F'(x) = 3x^2 + 2x\)
💡 שימו לב: פשוט מציבים x במקום t בפונקציה שבתוך האינטגרל!
🔗 כאשר הגבול העליון הוא פונקציה של x
אם \(F(x) = \int_a^{g(x)} f(t) \, dt\), אז:
\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\)
💡 במילים:
- מציבים את הגבול העליון בפונקציה: \(f(g(x))\)
- כופלים בנגזרת של הגבול העליון: \(g'(x)\)
✏️ דוגמה 2: גבול עליון פונקציה
נתונה: \(F(x) = \int_0^{x^2} \sin t \, dt\)
מצאו: \(F'(x)\)
פתרון:
הגבול העליון הוא \(g(x) = x^2\)
הנגזרת שלו: \(g'(x) = 2x\)
לפי הנוסחה:
\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\)
\(F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x\)
תשובה: \(F'(x) = 2x\sin(x^2)\)
✏️ דוגמה 3: גבול עליון מורכב
נתונה: \(F(x) = \int_1^{e^x} \frac{1}{t} \, dt\)
מצאו: \(F'(x)\)
פתרון:
הגבול העליון: \(g(x) = e^x\)
הנגזרת שלו: \(g'(x) = e^x\)
הפונקציה באינטגרל: \(f(t) = \frac{1}{t}\)
\(f(g(x)) = f(e^x) = \frac{1}{e^x}\)
לפי הנוסחה:
\(F'(x) = \frac{1}{e^x} \cdot e^x = 1\)
תשובה: \(F'(x) = 1\)
⚠️ כאשר הגבול התחתון משתנה
אם \(F(x) = \int_{h(x)}^a f(t) \, dt\), אז:
\(F'(x) = -f(h(x)) \cdot h'(x)\)
💡 שימו לב למינוס! כי כשהגבול התחתון גדל, השטח קטן.
🔄 כאשר שני הגבולות משתנים
אם \(F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \, dt\), אז:
\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)\)
💡 לזכור: גבול עליון עם פלוס, גבול תחתון עם מינוס!
✏️ דוגמה 4: שני גבולות משתנים
נתונה: \(F(x) = \int_x^{x^2} t^3 \, dt\)
מצאו: \(F'(x)\)
פתרון:
הגבול העליון: \(g(x) = x^2\), \(g'(x) = 2x\)
הגבול התחתון: \(h(x) = x\), \(h'(x) = 1\)
הפונקציה: \(f(t) = t^3\)
\(f(g(x)) = (x^2)^3 = x^6\)
\(f(h(x)) = x^3\)
לפי הנוסחה:
\(F'(x) = x^6 \cdot 2x - x^3 \cdot 1\)
\(F'(x) = 2x^7 - x^3\)
תשובה: \(F'(x) = 2x^7 - x^3\)
📊 חישוב ערכים של פונקציה צוברת
דוגמה: נתונה \(F(x) = \int_0^x (t^2 + 1) \, dt\)
חשבו: \(F(0)\), \(F(2)\), \(F(-1)\)
\(F(0)\):
\(F(0) = \int_0^0 (t^2 + 1) \, dt = 0\)
(כשהגבולות שווים, השטח הוא 0)
\(F(2)\):
\(F(2) = \int_0^2 (t^2 + 1) \, dt = \Big[ \frac{t^3}{3} + t \Big]_0^2\)
\(= \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}\)
\(F(-1)\):
\(F(-1) = \int_0^{-1} (t^2 + 1) \, dt = \Big[ \frac{t^3}{3} + t \Big]_0^{-1}\)
\(= \left( \frac{-1}{3} - 1 \right) - 0 = -\frac{4}{3}\)
📈 מציאת נקודות קיצון של פונקציה צוברת
דוגמה: נתונה \(F(x) = \int_0^x (t^2 - 4) \, dt\)
מצאו את נקודות הקיצון של F.
פתרון:
שלב 1: מוצאים את הנגזרת
\(F'(x) = x^2 - 4\)
שלב 2: משווים לאפס
\(x^2 - 4 = 0\)
\(x = \pm 2\)
שלב 3: בודקים סוג (נגזרת שנייה או טבלת סימנים)
\(F''(x) = 2x\)
\(F''(2) = 4 > 0\) → מינימום ב-\(x = 2\)
\(F''(-2) = -4 < 0\) → מקסימום ב-\(x = -2\)
תשובה: מקסימום ב-\(x = -2\), מינימום ב-\(x = 2\)
💡 תובנה: נקודות הקיצון של F הן בדיוק השורשים של f!
📋 טבלת סיכום הנוסחאות
| הפונקציה הצוברת | הנגזרת |
|---|---|
| \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) | \(F'(x) = f(x)\) |
| \(F(x) = \int_a^{g(x)} f(t) \, dt\) | \(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\) |
| \(F(x) = \int_{h(x)}^a f(t) \, dt\) | \(F'(x) = -f(h(x)) \cdot h'(x)\) |
| \(F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \, dt\) | \(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ F(a) = 0
כשהגבול התחתון שווה לעליון, השטח הוא 0
2️⃣ לא לשכוח g'(x)
אם הגבול העליון הוא פונקציה - לכפול בנגזרת שלה!
3️⃣ מינוס בגבול תחתון
גבול תחתון משתנה → מינוס לפני הביטוי
4️⃣ קיצון של F
נקודות קיצון של F הן השורשים של f
📝 סיכום
\(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \implies F'(x) = f(x)\)
המשפט היסודי: הנגזרת של פונקציה צוברת היא הפונקציה שבתוך האינטגרל
גבול משתנה → כופלים בנגזרת שלו