🔹 1. צירוף לינארי של וקטורים

צירוף לינארי הוא כתיבה של וקטור כמשקל (סקלר) כפול וקטור ועוד משקל כפול וקטור נוסף, וכו’.

עבור וקטורים \( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \) וסקלרים \( a_1, a_2, \dots, a_n \) — הצירוף הלינארי מוגדר כך:

\( a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \dots + a_n\vec{v}_n \)

בגאומטריה זה מאפשר לייצר נקודות, קטעים, חצאי קטעים, וקטורים מקבילים ועוד.

🔹 2. תלות לינארית

וקטור נקרא תלוי לינארית בקבוצת וקטורים אם ניתן לכתוב אותו כצירוף לינארי שלהם.

קבוצה של וקטורים נקראת בלתי תלויה לינארית אם אף וקטור בה אינו מייצג צירוף לינארי של האחרים.

הגדרה פורמלית: הווקטורים \( \vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n \) תלויים לינארית אם קיימים סקלרים לא כולם אפס כך ש:

\( a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \dots + a_n\vec{v}_n = \vec{0} \)

אם המשוואה מתקיימת רק עבור \( a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 \) — הקבוצה בלתי תלויה.

🔹 3. תלות לינארית בגאומטריה

➤ וקטור על ישר:

לכל שתי נקודות שונות \( A,B \) ולכל סקלר \( a\neq 0 \), וקטור מהצורה \( \overrightarrow{AB}\cdot a \) נמצא על הישר המוגדר ע"י A ו–B או על ישרים מקבילים לו.

➤ וקטור במישור:

לשלוש נקודות שאינן על ישר אחד — וקטור הוא צירוף לינארי של \( \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC} \) אם ורק אם הוא במישור שמוגדר ע"י A,B,C או במישור מקביל לו.

🔹 4. פרישת המרחב

שלושה וקטורים שאינם תלויים לינארית — פורשים את כל המרחב התלת־ממדי.

כל וקטור במרחב ניתן להצגה כצירוף לינארי של שלושה וקטורים בלתי תלויים:

\( \vec{v} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC} + c\overrightarrow{AD} \)

כאשר A,B,C,D הן ארבע נקודות שאינן על אותו מישור.

🔹 5. יחידות ההצגה של וקטור

אם יש קבוצה של וקטורים בלתי תלויים לינארית — ההצגה של כל וקטור ביחס אליהם היא יחידה.

➤ במישור:

כל וקטור ניתן להצגה יחידה באמצעות שני וקטורים בלתי תלויים.

➤ במרחב:

כל וקטור ניתן להצגה יחידה באמצעות שלושה וקטורים בלתי תלויים.

שימושים:

• מציאת יחסי קטעים
• הוכחת משפטים גאומטריים
• קואורדינטות במישור ובמרחב

📌 סיכום

תלות לינארית ויחידות ההצגה הן הבסיס להבנת כל מבנה וקטורי: מגאומטריה אנליטית ועד פיזיקה תלת־ממדית. ברגע שהתלמיד מבין “פרישה” ו“בלתי תלוי לינארית” — הכול הופך ברור ופשוט.