🔹 חלק א': הגדרה גאומטרית של פרבולה

פרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה אחת הנקראת מוקד (F) שווה למרחקן מישר קבוע הנקרא מדריך (d).

בכתיב מתמטי: \[ \{P(x,y)\mid PF = d(P, \text{מדריך})\} \]

זוהי אחת ההגדרות החשובות בגאומטריה האנליטית: הפרבולה אינה "גרף של פונקציה" בלבד, אלא **מקום גאומטרי** בעל תכונה עמוקה של שוויוני מרחקים.

🔹 חלק ב': הפקת המשוואה הקנונית

כדי לקבל את המשוואה הקנונית של הפרבולה, מציבים את:

• ראשית הצירים באמצע בין המוקד והמדריך
• את המוקד על ציר ה-x או ציר ה-y
• את המדריך כישר ניצב לציר הסימטריה

כאשר ציר הסימטריה אופקי, מתקבלת המשוואה: \[ y^2 = 4px \] כאשר \(p\) הוא המרחק מראשית הצירים למוקד.

כאשר ציר הסימטריה אנכי: \[ x^2 = 4py \]

לשתי הצורות אותה משמעות גאומטרית, אך סימטריה שונה.

🔹 חלק ג': תכונות הסימטריה של פרבולה

• לכל פרבולה יש ציר סימטריה אחד.
• ראש הפרבולה הוא נקודת המינימום או המקסימום (תלוי בכיוון הפתיחה).
• הפרבולה סימטרית ביחס לציר הסימטריה:

\[ \((x,y)\in\text{פרבולה} \Rightarrow (x,-y)\in\text{פרבולה} \quad \text{(עבור } y^2 = 4px)\) \]

סימטריה זו מאפשרת ניתוח מהיר של מצבים הדדיים ומשיקים.

🔹 חלק ד': מצבים הדדיים – פרבולה עם ישר ועם מעגל

✔ ישר ופרבולה

מצבים אפשריים:

• שני נקודות חיתוך – פתרון של מערכת מדרגה שנייה
• נקודת חיתוך אחת – משיק לפרבולה
• ללא פתרון – הישר מחוץ לפתיחה

משיק מתקבל בדיוק כאשר למשוואת החיתוך יש פתרון אחד כפול (דיסקרימיננט = 0).

✔ מעגל ופרבולה

גם כאן בודקים את מספר הפתרונות למערכת:

• 0 פתרונות – אין חיתוך
• 1 פתרון – נקודת השקה
• 2 פתרונות – שני חיתוכים
• 3–4 פתרונות – מקרים מיוחדים

🔹 חלק ה': משוואת משיק לפרבולה

לפרבולה \[ y^2 = 4px \] נקודה \((x_0 , y_0)\) על הפרבולה מקיימת:

\(y_0^2 = 4px_0\)

משוואת המשיק בנקודה זו היא:

\(yy_0 = 2p(x + x_0)\)

זוהי נוסחה חזקה במיוחד ומשמשת בבגרות רבות.

🔹 חלק ו': בעיות מקום גאומטרי – פרבולה

רבות מהבעיות במבחני הבגרות הן בעיות של "מצא את המקום הגאומטרי של נקודה". כאשר תנאי המרחקים מוביל לשוויון מסוג:

\(d(P,F) = d(P,directrix)\)

הפתרון הוא פרבולה. יש להציב, לפתח אלגברית ולמצוא את המשוואה.

💡 העשרה: התכונה האופטית של פרבולה

אחת התכונות החשובות ביותר של פרבולה היא:

כל קרן אור הפוגעת בפרבולה במקביל לציר הסימטריה – מוחזרת אל המוקד.

תכונה זו היא הבסיס:

• לצלחות לוויין
• לפנסים
• למחזירי אור (Reflectors)
• למיקרופונים פרבוליים

ביסוס אנליטי: שוויון זוויות בעזרת גזירת נוסחת המשיק בפרבולה והוכחת חוק ההחזרה.