פרבולה, משיק ואנכים (Tangent & Normal)

בדף זה נלמד כיצד למצוא משיק ואנך למשיק (Normal) לפרבולה. נשתמש בפרבולה הסטנדרטית \( y^2 = 2px \), שהיא הפורמט המקובל בלמידה.

1. פרבולה בסיסית

הפרבולה: \( y^2 = 2px \) פתוחה ימינה.

נקודה שעל הפרבולה חייבת לקיים: \( y_0^2 = 2p x_0 \).

2. משיק לפרבולה בנקודה נתונה

אם הנקודה \( (x_0 , y_0) \) נתונה על הפרבולה — משוואת המשיק היא:

\( y y_0 = p(x + x_0) \)

זוהי נוסחת המשיק החשובה ביותר בפרבולות מהצורה \( y^2 = 2px \).

3. שיפוע המשיק

כדי למצוא את שיפוע המשיק (אם שואלים ספציפית עליו), נבודד את \( y \) ונבצע גזירה:

\( y = \sqrt{2px} \) או \( y = -\sqrt{2px} \), אך הדרך האלגנטית היא לגזור את הצורה המקורית ברמז ל־Implicit:

נגזור את \( y^2 = 2px \):

\( 2y \cdot y' = 2p \)

ולכן: \( y' = \frac{p}{y} \)

בנשווה בנקודה \( (x_0,y_0) \):

\( m = \frac{p}{y_0} \)

4. האנך למשיק – Normal

אנך הוא ישר שמאונך למשיק. אם שיפוע המשיק הוא \( m \), אז שיפוע האנך הוא:

\( m_n = -\frac{1}{m} \)

נכתוב את האנך בנקודה \( (x_0,y_0) \):

\( y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0) \)

5. דוגמה מלאה

נמצא משיק ואנך לנקודה \( (2p , 2\sqrt{p}) \) על הפרבולה \( y^2 = 2px \).

שלב 1 – בדיקה שהנקודה על הפרבולה:

\( (2\sqrt{p})^2 = 4p = 2p \cdot 2 \)

שלב 2 – משיק:

\( y y_0 = p(x + x_0) \)

נציב:

\( y (2\sqrt{p}) = p(x + 2p) \)

ולכן המשיק: \( y = \frac{p}{2\sqrt{p}}x + p\sqrt{p} \)

שלב 3 – שיפוע המשיק:

\( m = \frac{p}{2\sqrt{p}} \)

שלב 4 – האנך:

שיפוע האנך: \( m_n = -\frac{1}{m} = -\frac{2\sqrt{p}}{p} \)

משוואת האנך: \( y - 2\sqrt{p} = -\frac{2\sqrt{p}}{p}(x - 2p) \)

6. מסקנות

• המשיק לפרבולה \( y^2 = 2px \) מתקבל מיידית מהנוסחה \( y y_0 = p(x + x_0) \).
• שיפוע המשיק: \( m = \frac{p}{y_0} \).
• שיפוע האנך: \( m_n = -\frac{1}{m} \).
• האנך עובר דרך אותה נקודה כמו המשיק.