🔍 פעילות חקר: אליפסה, מוקדים, משיק, אנך ותכונת ההחזרה

בפעילות זו נחקור אליפסה במערכת הצירים, נזהה את מוקדיה, נבחן את הגדרת האליפסה דרך סכום המרחקים, ניצור משיק וּננתח את האנך למשיק. בנוסף נבחן את הזווית בין קרן מהמוקד לבין המשיק ונבדוק את תכונת ההחזרה.

האליפסה שנחקור היא: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) כאשר \( a \) הוא חצי הציר הגדול ו־\( b \) הוא חצי הציר הקטן.

📌 רדיוסים וקטוריים באליפסה

באליפסה יש שני מוקדים: \( F_1 = (-c, 0) \) ו־ \( F_2 = (c, 0) \), כאשר \( c^2 = a^2 - b^2 \). לכל נקודה A על האליפסה יש שני רדיוסים וקטוריים:

\( r_1 = |AF_1| \) — המרחק מהמוקד השמאלי
\( r_2 = |AF_2| \) — המרחק מהמוקד הימני

תכונה מרכזית של האליפסה היא:

\( r_1 + r_2 = 2a \)

כלומר: סכום המרחקים מהמוקדים לכל נקודה על האליפסה נשאר קבוע. זהו הרעיון שמגדיר אליפסה, והוא הבסיס לכל שאר התכונות הגאומטריות של הצורה.

📌 חלק א: זיהוי מרכיבי האליפסה

• גררו את הנקודה A על האליפסה.
• מצאו את מרחקי הנקודה A משני המוקדים: \( F_1 = (-c, 0) \), \( F_2 = (c, 0) \), כאשר \( c^2 = a^2 - b^2 \).
• בדקו האם סכום המרחקים \( |AF_1| + |AF_2| \) נשאר קבוע.
• רשמו את הערך הקבוע.

📌 חלק ב: רדיוסים וקטוריים באליפסה

לאליפסה שני מוקדים: \( F_1 = (-c, 0) \) ו־ \( F_2 = (c, 0) \), כאשר \( c^2 = a^2 - b^2 \).

לכל נקודה A על האליפסה יש שני רדיוסים וקטוריים:

\( r_1 = |AF_1| \) — המרחק מהמוקד השמאלי
\( r_2 = |AF_2| \) — המרחק מהמוקד הימני

הגדרה מרכזית של אליפסה:

\( r_1 + r_2 = 2a \)

כלומר: סכום המרחקים מהמוקדים לכל נקודה על האליפסה נשאר קבוע. זהו הרעיון שמגדיר אליפסה, והוא הבסיס לכל שאר התכונות הגאומטריות שלה.

📌 חלק ג: המשיק לאליפסה

המשיק נוצר באמצעות: \( \text{tangent} = \text{Tangent}(A,\ e) \) כאשר e היא האליפסה.

1. התבוננו במשיק בנקודה A.
2. שנו את מיקום A ובדקו כיצד משתנה שיפוע המשיק.
3. רשמו: האם המשיק תמיד נוגע באליפסה בנקודה אחת בלבד?
4. נסחו במילים שלכם כיצד ניתן “לחזות” את כיוון המשיק לפי מיקום A.

📌 חלק ד: האנך למשיק

האנך מוגדר כך: \( \text{normal} = \text{PerpendicularLine}(A,\ \text{tangent}) \)

1. בדקו האם האנך תמיד מאונך למשיק.
2. גררו את A ובדקו כיצד מתנהג האנך במקומות שונים על האליפסה.
3. האם יש נקודות בהן כיוון האנך “משתנה במהירות”?

📌 חלק ה: תכונת האליפסה – החזרה ממוקד למוקד

לפי תכונה ידועה של אליפסה, קרן היוצאת ממוקד פוגעת באליפסה ומוחזרת למוקד השני.

• התבוננו בקרן: \( \text{incomingRay} = \text{Ray}(F_1, A) \)
• התבוננו בזווית בין הקרן לבין המשיק.
• בדקו את קרן ההחזרה המתקבלת לאורך דיש המשיק: \( \text{reflectedRay} = \text{Ray}(A, \text{Direction}(\text{tangent})) \)
• רשמו: האם קרן ההחזרה עוברת דרך המוקד השני \( F_2 \)?

📌 חלק ו: מסקנות

1. כיצד סכום המרחקים מגדיר את האליפסה?
2. מה הקשר בין מיקום A לבין שיפוע המשיק?
3. כיצד כדאי “לחשוב” על האנך למשיק?
4. מה לומדים מרדיוסים וקטוריים על מבנה האליפסה?
5. כיצד המשיק משתנה על פני האליפסה?
6. מה תפקידו של האנך?
7. נסחו במילים שלכם את תכונת ההחזרה של האליפסה.

באליפסה יש "קסם אקוסטי":
כל גל, קול או אור שמגיע ממוקד אחד — חוזר בדיוק למוקד השני.
לכן האליפסה משמשת לבניית חדרי לחישה ומערכות אקוסטיקה מיוחדות.

באליפסה, כל קרן שמגיעה ממוקד אחד ‘קופצת’ מהמשטח ישר לכיוון המוקד השני.

אם שולחים “אלומת אור” מהמוקד הראשון F₁ לנקודה A שעל האליפסה —
הזווית שבה היא תפגע באליפסה תהיה בדיוק הזווית שבה היא תוחזר לכיוון המוקד השני F₂.