הסתברות- מושגי יסוד
🎲 הסתברות - מושגי יסוד
מאורעות, הסתברות ועץ הסתברות
🎯 מה זה הסתברות?
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 שמתאר את הסיכוי שמשהו יקרה.
|
0 בלתי אפשרי לא יקרה בשום מקרה |
0.5 סיכוי שווה 50-50 |
1 ודאי יקרה בוודאות |
📚 מושגי יסוד
| מושג | הגדרה | דוגמה |
|---|---|---|
| ניסוי | פעולה שתוצאתה אינה ידועה מראש | הטלת קובייה, הטלת מטבע |
| מרחב המדגם (Ω) | קבוצת כל התוצאות האפשריות | קובייה: \(\{1,2,3,4,5,6\}\) |
| מאורע | תת-קבוצה של מרחב המדגם | "יצא מספר זוגי": \(\{2,4,6\}\) |
| מאורע פשוט | מאורע עם תוצאה אחת בלבד | "יצא 3": \(\{3\}\) |
⭐ נוסחת ההסתברות הבסיסית
\(P(A) = \frac{\text{מספר התוצאות הרצויות}}{\text{מספר התוצאות האפשריות}}\)
דוגמה: הטלת קובייה הוגנת
שאלה: מה ההסתברות לקבל מספר זוגי?
מרחב המדגם: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) → 6 תוצאות אפשריות
מאורע "מספר זוגי": \(\{2, 4, 6\}\) → 3 תוצאות רצויות
\(P(\text{זוגי}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
⚠️ חשוב: הנוסחה עובדת רק כאשר כל התוצאות שווות סיכוי!
🔄 מאורע משלים
המאורע המשלים של \(A\) (מסומן \(\bar{A}\) או \(A'\)) הוא:
"המאורע לא קרה"
\(P(A) + P(\bar{A}) = 1\)
לכן: \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
דוגמה:
אם \(P(\text{גשם}) = 0.3\)
אז \(P(\text{לא גשם}) = 1 - 0.3 = 0.7\)
💡 מתי משתמשים?
כשקל יותר לחשב את ההסתברות שלא יקרה משהו.
למשל: "לפחות אחד" → קל לחשב "אף אחד לא" ואז להפחית מ-1.
🔗 פעולות על מאורעות
| פעולה | סימון | משמעות | מילת מפתח |
|---|---|---|---|
| איחוד | \(A \cup B\) | \(A\) קרה או \(B\) קרה (או שניהם) | "או" |
| חיתוך | \(A \cap B\) | \(A\) קרה וגם \(B\) קרה | "וגם" |
| משלים | \(\bar{A}\) | \(A\) לא קרה | "לא" |
⊘ מאורעות זרים (מאורעות מנוגדים)
שני מאורעות הם זרים אם הם לא יכולים לקרות יחד
\(A \cap B = \emptyset\)
אם \(A\) ו-\(B\) זרים:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
(פשוט מחברים!)
דוגמה:
בהטלת קובייה: "יצא 1" ו-"יצא 6" הם מאורעות זרים.
(אי אפשר לקבל גם 1 וגם 6 באותה הטלה)
\(P(1 \text{ או } 6) = P(1) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
🌳 עץ הסתברות
עץ הסתברות הוא כלי ויזואלי לתיאור ניסוי עם מספר שלבים.
כל ענף מייצג אפשרות, וליד כל ענף רושמים את ההסתברות שלו.
דוגמה: הטלת מטבע פעמיים
ע = עץ (heads), פ = פלי (tails)
📐 כללי החישוב בעץ
| כלל | מתי משתמשים | דוגמה |
|---|---|---|
|
כלל הכפל לאורך מסלול כופלים את ההסתברויות |
כשרוצים לחשב הסתברות של מסלול ספציפי |
\(P(\text{ע,ע}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25\) |
|
כלל החיבור בין מסלולים מחברים את ההסתברויות |
כשרוצים לחשב הסתברות של מספר מסלולים (או) |
\(P(\text{בדיוק אחד ע})\) \(= P(\text{ע,פ}) + P(\text{פ,ע})\) \(= 0.25 + 0.25 = 0.5\) |
💡 איך לזכור?
"וגם" = כפל (לאורך מסלול - זה וגם זה וגם זה...)
"או" = חיבור (בין מסלולים - או זה או זה)
✏️ דוגמה מפורטת
שאלה: בשקית יש 3 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים. שולפים כדור, מחזירים אותו, ושולפים שוב. מה ההסתברות לקבל:
א. שני כדורים אדומים?
ב. בדיוק כדור אדום אחד?
ג. לפחות כדור אדום אחד?
נתונים:
\(P(\text{אדום}) = \frac{3}{5}\) \(P(\text{כחול}) = \frac{2}{5}\)
א. שני כדורים אדומים (א,א):
\(P(\text{א,א}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\)
ב. בדיוק כדור אדום אחד (א,כ או כ,א):
\(P(\text{א,כ}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}\)
\(P(\text{כ,א}) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}\)
\(P(\text{בדיוק אחד אדום}) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}\)
ג. לפחות כדור אדום אחד:
נשתמש במשלים! "לפחות אחד" = 1 − "אף אחד לא"
\(P(\text{כ,כ}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\)
\(P(\text{לפחות אחד אדום}) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}\)
✅ בדיקה עצמית
סכום כל ההסתברויות בעץ חייב להיות 1!
מהדוגמה הקודמת:
\(P(\text{א,א}) + P(\text{א,כ}) + P(\text{כ,א}) + P(\text{כ,כ})\)
\(= \frac{9}{25} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} + \frac{4}{25} = \frac{25}{25} = 1\) ✓
💡 טיפ: אם הסכום לא יוצא 1, יש טעות בחישוב!
💡 טיפים חשובים למבחן
1️⃣ תמיד לצייר עץ!
בשאלות עם שלבים - עץ עוזר לראות את כל האפשרויות ולא לשכוח מסלולים
2️⃣ "לפחות" = משלים
"לפחות אחד" קשה לחשב ישירות.
עדיף: \(1 - P(\text{אף אחד})\)
3️⃣ לבדוק הגיון
הסתברות תמיד בין 0 ל-1!
יצא יותר מ-1? יש טעות.
4️⃣ עם/בלי החזרה
עם החזרה: ההסתברויות לא משתנות
בלי החזרה: ההסתברויות משתנות!
📝 סיכום
\(P(A) = \frac{\text{רצוי}}{\text{אפשרי}}\) | \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
בעץ: לאורך מסלול = כפל | בין מסלולים = חיבור
מאורעות זרים: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)