עץ הסתברות
🌳 עץ הסתברות
הכלי החזק ביותר לפתרון שאלות הסתברות עם שלבים
🎯 מה זה עץ הסתברות?
עץ הסתברות הוא דיאגרמה שמתארת ניסוי עם מספר שלבים.
|
🔵 צמתים נקודות החלטה/תוצאה |
➡️ ענפים אפשרויות + הסתברויות |
🏁 עלים תוצאות סופיות |
📐 מבנה העץ
כללים לבניית עץ:
- כל שלב בניסוי = רמה חדשה בעץ
- כל אפשרות = ענף חדש
- על כל ענף רושמים את ההסתברות
- סכום ההסתברויות מכל צומת = 1
⭐ שני הכללים החשובים
כלל הכפל
לאורך מסלול
כופלים את ההסתברויות
"וגם" = כפל
כלל החיבור
בין מסלולים
מחברים את ההסתברויות
"או" = חיבור
💡 לזכור: לאורך = × | לרוחב = +
✏️ דוגמה 1: הטלת מטבע פעמיים
ע = עץ | פ = פלי
חישוב הסתברויות:
| מסלול | חישוב (כפל לאורך) | תוצאה |
|---|---|---|
| ע,ע | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
| ע,פ | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
| פ,ע | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
| פ,פ | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
בדיקה: \(0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1\) ✓
✏️ דוגמה 2: שליפה בלי החזרה
שאלה: בקופסה 3 כדורים אדומים ו-2 כחולים. שולפים 2 כדורים בלי החזרה.
שימו לב! ההסתברויות משתנות:
| מסלול | חישוב | תוצאה |
|---|---|---|
| א,א | \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}\) | \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) |
| א,כ | \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}\) | \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) |
| כ,א | \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\) | \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) |
| כ,כ | \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{20} = \frac{1}{10}\) |
בדיקה: \(\frac{6+6+6+2}{20} = \frac{20}{20} = 1\) ✓
⚠️ הבדל קריטי:
עם החזרה: ההסתברויות לא משתנות בין השלבים
בלי החזרה: ההסתברויות משתנות! (המכנה קטן ב-1)
🔍 שימוש בעץ לענות על שאלות
מתוך הדוגמה הקודמת (3 אדומים, 2 כחולים, בלי החזרה):
שאלה א: מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים?
תשובה: מסלול אחד בלבד (א,א)
\(P(\text{א,א}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)
שאלה ב: מה ההסתברות שהכדורים בצבעים שונים?
תשובה: שני מסלולים (א,כ) או (כ,א) - מחברים!
\(P(\text{שונים}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\)
שאלה ג: מה ההסתברות שלפחות אחד אדום?
תשובה (דרך 1): שלושה מסלולים (א,א), (א,כ), (כ,א)
\(P = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}\)
תשובה (דרך 2 - משלים): \(1 - P(\text{כ,כ}) = 1 - \frac{2}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}\)
🔄 עם החזרה מול בלי החזרה
| עם החזרה | בלי החזרה | |
|---|---|---|
| מה קורה? | שולפים, מחזירים, שולפים שוב | שולפים ולא מחזירים |
| הסתברויות | לא משתנות | משתנות! |
| המכנה | נשאר קבוע | קטן ב-1 כל שלב |
| דוגמה (3 אדומים, 2 כחולים) |
\(P(\text{א,א}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\) | \(P(\text{א,א}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\) |
✅ בדיקה עצמית
סכום כל ההסתברויות בעלים = 1
אם לא יוצא 1, יש טעות בחישוב!
סכום ההסתברויות מכל צומת = 1
כל הענפים היוצאים מאותו צומת חייבים להסתכם ל-1
💡 טיפים למבחן
1️⃣ תמיד לצייר!
עץ עוזר לראות את כל האפשרויות ומונע טעויות
2️⃣ לרשום הסתברויות
על כל ענף לרשום את ההסתברות שלו
3️⃣ לזהות עם/בלי
לבדוק אם יש החזרה - זה משפיע על ההסתברויות!
4️⃣ לסמן מסלולים
לסמן את המסלולים הרלוונטיים לשאלה
📝 סיכום
| לאורך מסלול | → | כופלים × |
| בין מסלולים | → | מחברים + |
סכום כל העלים = 1 | סכום ענפים מצומת = 1