הסתברות נושאים מתקדמים מותנית תלות ובינומית
🎲 הסתברות - נושאים מתקדמים
טבלה, הסתברות מותנית, תלויים/בלתי-תלויים, והתפלגות בינומית
📊 חלק 1: טבלת הסתברות
טבלת הסתברות מציגה את כל ההסתברויות של שני מאורעות בצורה מסודרת.
מבנה הטבלה:
| \(B\) | \(\bar{B}\) | סה"כ | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(P(A \cap B)\) | \(P(A \cap \bar{B})\) | \(P(A)\) |
| \(\bar{A}\) | \(P(\bar{A} \cap B)\) | \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\) | \(P(\bar{A})\) |
| סה"כ | \(P(B)\) | \(P(\bar{B})\) | 1 |
💡 כללים:
- סכום כל שורה = הסתברות השורה (בעמודת סה"כ)
- סכום כל עמודה = הסתברות העמודה (בשורת סה"כ)
- סכום כל הטבלה = 1
✏️ דוגמה: סקר על ספורט וצפייה בטלוויזיה
בסקר נמצא: 40% עושים ספורט, 60% צופים בטלוויזיה, 25% עושים גם וגם.
| טלוויזיה (T) | לא טלוויזיה | סה"כ | |
|---|---|---|---|
| ספורט (S) | 0.25 | 0.15 | 0.40 |
| לא ספורט | 0.35 | 0.25 | 0.60 |
| סה"כ | 0.60 | 0.40 | 1 |
איך מילאנו?
\(P(S \cap \bar{T}) = P(S) - P(S \cap T) = 0.40 - 0.25 = 0.15\)
\(P(\bar{S} \cap T) = P(T) - P(S \cap T) = 0.60 - 0.25 = 0.35\)
\(P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 1 - 0.25 - 0.15 - 0.35 = 0.25\)
🎯 חלק 2: הסתברות מותנית
הסתברות מותנית היא ההסתברות שמאורע יקרה, בהינתן שמאורע אחר כבר קרה.
הנוסחה המרכזית:
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
ההסתברות ל-\(A\) בהינתן ש-\(B\) קרה
💡 איך לקרוא: \(P(A|B)\) = "ההסתברות ל-A בהינתן B"
הקו האנכי | נקרא "בהינתן" או "בתנאי ש"
✏️ דוגמה: מהטבלה הקודמת
שאלה: מה ההסתברות שאדם עושה ספורט, בהינתן שהוא צופה בטלוויזיה?
\(P(S|T) = \frac{P(S \cap T)}{P(T)} = \frac{0.25}{0.60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \approx 0.417\)
שאלה: מה ההסתברות שאדם צופה בטלוויזיה, בהינתן שהוא עושה ספורט?
\(P(T|S) = \frac{P(S \cap T)}{P(S)} = \frac{0.25}{0.40} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} = 0.625\)
⚠️ שימו לב: \(P(A|B) \neq P(B|A)\) בדרך כלל!
🔄 כלל הכפל (מהנוסחה):
\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)\)
💡 שימושי: זה בדיוק מה שעושים בעץ הסתברות!
כשכופלים לאורך מסלול, למעשה מכפילים הסתברויות מותנות.
🔗 חלק 3: מאורעות תלויים ובלתי תלויים
✅ מאורעות בלתי תלויים
התרחשות האחד לא משפיעה על השני
תנאי:
\(P(A|B) = P(A)\)
או באופן שקול:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
דוגמאות:
- הטלת שתי קוביות
- הטלת מטבע פעמיים
- שליפה עם החזרה
❌ מאורעות תלויים
התרחשות האחד משפיעה על השני
תנאי:
\(P(A|B) \neq P(A)\)
או באופן שקול:
\(P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)\)
דוגמאות:
- שליפה בלי החזרה
- בחירת קלפים מחפיסה
- בחירת אנשים מקבוצה
⊘ מאורעות זרים (מנוגדים)
לא יכולים לקרות יחד!
\(P(A \cap B) = 0\)
דוגמה:
בהטלת קובייה: "יצא 1" ו"יצא 6" הם מאורעות זרים
נוסחה:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
(כי אין חפיפה)
⚠️ אל תבלבלו!
זרים ≠ בלתי תלויים!
מאורעות זרים הם דווקא תלויים (אם אחד קרה, השני בוודאות לא קרה)
📊 טבלת השוואה:
| בלתי תלויים | זרים | |
|---|---|---|
| משמעות | לא משפיעים זה על זה | לא יכולים לקרות יחד |
| \(P(A \cap B)\) | \(P(A) \cdot P(B)\) | \(0\) |
| \(P(A \cup B)\) | \(P(A) + P(B) - P(A)P(B)\) | \(P(A) + P(B)\) |
📈 חלק 4: התפלגות בינומית
התפלגות בינומית מתארת ניסוי עם שני מצבים בלבד (הצלחה/כישלון) שחוזר על עצמו מספר פעמים.
תנאים להתפלגות בינומית:
1️⃣
\(n\) ניסויים
מספר קבוע של חזרות
2️⃣
שני מצבים
הצלחה או כישלון
3️⃣
\(p\) קבוע
הסתברות הצלחה זהה
4️⃣
בלתי תלויים
הניסויים עצמאיים
⭐ הנוסחה הבינומית:
\(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)
| \(n\) | מספר הניסויים |
| \(k\) | מספר ההצלחות הרצוי |
| \(p\) | הסתברות להצלחה בניסוי בודד |
| \(1-p\) | הסתברות לכישלון בניסוי בודד (מסומן לפעמים \(q\)) |
| \(\binom{n}{k}\) | מקדם בינומי - מספר הדרכים לבחור \(k\) מתוך \(n\) |
📐 תזכורת - מקדם בינומי:
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
✏️ דוגמה מפורטת:
שאלה: מטילים מטבע הוגן 5 פעמים. מה ההסתברות לקבל בדיוק 3 "עץ"?
זיהוי הנתונים:
- \(n = 5\) (5 הטלות)
- \(k = 3\) (רוצים 3 "עץ")
- \(p = 0.5\) (הסתברות ל"עץ")
הצבה בנוסחה:
\(P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3}\)
\(= \binom{5}{3} \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2\)
\(= 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25\)
\(= 10 \cdot 0.03125\)
\(= 0.3125 = \frac{5}{16}\)
💡 הסבר:
\(\binom{5}{3} = 10\) = יש 10 דרכים לבחור באילו 3 מתוך 5 הטלות יצא "עץ"
\((0.5)^3\) = הסתברות ל-3 "עץ"
\((0.5)^2\) = הסתברות ל-2 "פלי"
🧮 תוחלת ושונות:
תוחלת (ממוצע)
\(E(X) = n \cdot p\)
שונות
\(Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\)
סטיית תקן
\(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
דוגמה: ב-100 הטלות מטבע (\(n=100, p=0.5\)):
תוחלת: \(E(X) = 100 \cdot 0.5 = 50\) (צפי ל-50 "עץ")
סטיית תקן: \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5\)
📝 סוגי שאלות נפוצות בבינומית:
| סוג השאלה | איך לחשב |
|---|---|
| בדיוק \(k\) | \(P(X = k)\) |
| לכל היותר \(k\) | \(P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X=i)\) |
| לפחות \(k\) | \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) |
| לפחות אחד | \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\) |
| אף אחד | \(P(X = 0) = (1-p)^n\) |
📝 סיכום הנוסחאות
| הסתברות מותנית: | \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) |
| בלתי תלויים: | \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) |
| זרים: | \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) |
| בינומית: | \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) |