🔹 1. הגדרת המכפלה הסקלארית

המכפלה הסקלארית היא פעולה בין שני וקטורים שמניבה מספר (סקלאר).

היא מוגדרת כך:

\( \vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}| \cos(\alpha) \)

כאשר \( \alpha \) היא הזווית בין \( \vec{u} \) ו–\( \vec{v} \).

שים לב:

• באגף שמאל — “נקודה” \( \cdot \) היא פעולה בין וקטורים
• באגף ימין — כפל רגיל בין מספרים

🔹 2. פרשנות גאומטרית

המכפלה הסקלארית מודדת כמה הווקטורים “פונים לאותו כיוון”. כאשר:

• \( \vec{u}\cdot\vec{v} > 0 \) — הזווית חדה (פחות מ־90°)
• \( \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \) — הווקטורים מאונכים
• \( \vec{u}\cdot\vec{v} < 0 \) — הזווית קהה

כמו כן:

\( \vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2 \)

🔹 3. שימושים של מכפלה סקלארית

➤ חישוב זוויות בין וקטורים

מהנוסחה מתקבלת מיידית הזווית:

\( \cos\alpha = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} \)

➤ חישוב אורכים

למשל: \( |\vec{u}| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} \)

➤ פתרון בעיות גאומטריות:

• מציאת היטל של וקטור על וקטור
• בדיקת מאונכות
• בדיקת זוויות בין ישרים ומישורים
• חישוב אורכים וחצאי קטעים

🔹 4. הוכחות באמצעות מכפלה סקלארית

➤ משפט: ישר ניצב למישור

ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים ששוכנים במישור.

הוכחה: אם וקטור כיוון של הישר מאונך לשני וקטורי כיוון בלתי תלויים של ישרים במישור — הוא מאונך לכל הווקטורים במישור.

➤ משפט: הניצב למשופע

ישר במישור ניצב למשופע אם ורק אם הוא מאונך להיטל של המשופע על המישור.

ההיטל נבנה באמצעות מכפלה סקלארית:

\( \mathrm{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v} \)

📌 סיכום

המכפלה הסקלארית היא כלי מדויק וחזק בפתרון בעיות גאומטריות ופיזיקליות. היא מאפשרת לחשב זוויות, אורכים, היטל של וקטור, ולבצע הוכחות שמבוססות על דיוק מתמטי גבוה.