דפי הסבר - סדרה חשבונית (בסיס) חוקיות הסדרה והפרש
סדרה חשבונית
דף 1: הבסיס - חוקיות הסדרה והפרש
🎯 אתם כבר מכירים סדרות חשבוניות!
אתם מכירים את הסדרה הזו מגיל קטן, רק לא הכרתם את שמה:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
סדרת המספרים הזוגיים!
ומה עם הסדרה הזו?
5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
לוח הכפל של 5!
📚 מה זו סדרה חשבונית?
סדרה חשבונית היא סדרת מספרים שבה כל מספר (החל מהשני)
מתקבל על ידי הוספת מספר קבוע למספר הקודם לו.
💡 במילים פשוטות:
כל פעם מדלגים אותו מספר קבוע!
בסדרה הזו מדלגים כל פעם +4
🌍 סדרות חשבוניות בחיים שלנו
🚌 תחנות אוטובוס:
אם כל תחנה במרחק 500 מטר מהקודמת:
0, 500, 1000, 1500, 2000, ... (מטרים מההתחלה)
🪜 שלבים בסולם:
אם כל שלב בגובה 25 ס"מ:
25, 50, 75, 100, 125, ... (גובה מהרצפה)
💰 חיסכון חודשי:
אם כל חודש חוסכים 200 ₪:
200, 400, 600, 800, 1000, ... (סכום מצטבר)
📅 ימים בשבועות:
כל 7 ימים עובר שבוע:
7, 14, 21, 28, 35, ... (מספר הימים)
📝 מושגי יסוד
איבר = כל מספר בסדרה
סימון איבר:
את האיבר מסמנים באות a
ליד האות רושמים את מיקום האיבר בסדרה (n)
\(a_1\) = האיבר הראשון
\(a_2\) = האיבר השני
\(a_3\) = האיבר השלישי
...
\(a_n\) = האיבר ה-n (האיבר הכללי)
דוגמה: בסדרה 5, 8, 11, 14, 17, ...
\(a_1 = 5\) (האיבר הראשון)
\(a_2 = 8\) (האיבר השני)
\(a_3 = 11\) (האיבר השלישי)
\(a_4 = 14\) (האיבר הרביעי)
\(a_5 = 17\) (האיבר החמישי)
📏 הפרש הסדרה (d)
הפרש הסדרה הוא המספר הקבוע שמוסיפים בכל פעם.
מסמנים אותו באות d
💡 איך מוצאים את d?
d = האיבר הבא − האיבר הקודם
פשוט מחסרים שני איברים עוקבים!
דמיינו סולם - המרחק בין השלבים תמיד זהה!
✏️ דוגמאות - מציאת הפרש הסדרה
דוגמה 1: 3, 8, 13, 18, ...
d = 8 − 3 = 5
(בדיקה: 13 − 8 = 5 ✓, 18 − 13 = 5 ✓)
דוגמה 2: 2, 5, 8, 11, ...
d = 5 − 2 = 3
דוגמה 3 (הפרש שלילי!): 40, 30, 20, 10, ...
d = 30 − 40 = −10
הסדרה יורדת! d שלילי אומר שמחסרים כל פעם.
דוגמה 4 (מספרים שליליים): −21, −15, −9, −3, ...
d = (−15) − (−21) = −15 + 21 = 6
למרות שהמספרים שליליים, הסדרה עולה!
💰 דוגמה מהחיים - דמי כיס
תומר מקבל דמי כיס כל חודש 20 ₪.
הוריו החליטו להעלות את דמי הכיס בכל חודש ב-5 ₪.
כמה כסף יקבל תומר כדמי כיס לאחר 12 חודשים?
פתרון:
חודש 1: 20 ₪
חודש 2: 20 + 5 = 25 ₪
חודש 3: 25 + 5 = 30 ₪
...
זו סדרה חשבונית! \(a_1 = 20\), d = 5
חודש 12: \(a_{12} = 20 + 11 \times 5 = 20 + 55 = 75\) ₪
תשובה: תומר יקבל 75 ₪ בחודש ה-12
📝 תרגילים - השלימו את הסדרות
(1) 21, 31, 41, ___, ___, ___, ___
(2) 120, 115, 110, ___, ___, ___, ___
(3) 37, 41, 45, ___, ___, ___, ___
(4) 75, 78, 81, ___, ___, ___, ___
💡 פתרונות:
(1) d = 10: 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81
(2) d = −5: 120, 115, 110, 105, 100, 95, 90
(3) d = 4: 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61
(4) d = 3: 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93
📝 תרגילים - מצאו את d והוסיפו איבר חמישי
(5) 3, 8, 13, 18, ___ d = ___
(6) 2, 5, 8, 11, ___ d = ___
(7) −21, −15, −9, −3, ___ d = ___
(8) 40, 30, 20, 10, ___ d = ___
💡 פתרונות:
(5) d = 5, האיבר החמישי: 23
(6) d = 3, האיבר החמישי: 14
(7) d = 6, האיבר החמישי: 3
(8) d = −10, האיבר החמישי: 0
🔑 נוסחת האיבר הכללי
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
💡 הסבר:
- \(a_n\) = האיבר שאנחנו מחפשים (במקום n)
- \(a_1\) = האיבר הראשון
- d = הפרש הסדרה
- n = מספר המקום של האיבר
- (n−1) = כמה "קפיצות" עשינו מהאיבר הראשון
✏️ דוגמה: בסדרה 5, 8, 11, 14, ... מצאו את האיבר ה-20
\(a_1 = 5\), d = 3, n = 20
\(a_{20} = 5 + (20-1) \times 3 = 5 + 19 \times 3 = 5 + 57 = 62\)
📝 סיכום
סדרה חשבונית = מוסיפים מספר קבוע (d) בכל פעם
d = האיבר הבא − האיבר הקודם
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)