שלב 1: זיהוי הנתונים

\(a_1 = 3\) (האיבר הראשון)

\(a_5 = 19\) (האיבר האחרון)

n = 5 (מספר האיברים)

שלב 2: הצבה בנוסחה

\(S_5 = \frac{(3 + 19) \cdot 5}{2} = \frac{22 \cdot 5}{2} = \frac{110}{2} = 55\)

פתרון:

\(a_1 = 12\), d = 15 − 12 = 3

א. \(a_{10} = 12 + (10-1) \times 3 = 12 + 27 = 39\)

ב. \(S_{10} = \frac{(12 + 39) \times 10}{2} = \frac{51 \times 10}{2} = \frac{510}{2} = 255\)

פתרון:

\(a_1 = 4\), d = 5.5 − 4 = 1.5

א. \(a_{20} = 4 + (20-1) \times 1.5 = 4 + 28.5 = 32.5\)

ב. \(S_{20} = \frac{(4 + 32.5) \times 20}{2} = \frac{36.5 \times 20}{2} = \frac{730}{2} = 365\)

פתרון:

\(a_1 = 6\), n = 7, \(S_7 = 147\)

א. נשתמש בנוסחה: \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)

\(147 = \frac{7}{2}[2 \times 6 + 6d]\)

\(147 = \frac{7}{2}[12 + 6d]\)

\(294 = 7(12 + 6d)\)

\(42 = 12 + 6d\)

\(6d = 30\)

\(d = 5\)

ב. \(a_7 = 6 + 6 \times 5 = 6 + 30 = 36\)

פתרון:

\(a_1 = 207\), d = 200 − 207 = −7

\(a_{12} = 207 + 11 \times (-7) = 207 - 77 = 130\)

\(S_{12} = \frac{(207 + 130) \times 12}{2} = \frac{337 \times 12}{2} = \frac{4044}{2} = 2022\)

פתרון:

\(a_1 = 7\), n = 8, \(S_8 = 168\)

א. \(168 = \frac{8}{2}[2 \times 7 + 7d]\)

\(168 = 4[14 + 7d]\)

\(42 = 14 + 7d\)

\(7d = 28\)

\(d = 4\)

ב. \(a_6 = 7 + 5 \times 4 = 7 + 20 = 27\)

פתרון:

\(a_3 = 6\), \(a_5 = 10\)

א. מאיבר 3 לאיבר 5 יש 2 קפיצות:

\(2d = 10 - 6 = 4\)

\(d = 2\)

ב. \(a_3 = a_1 + 2d\)

\(6 = a_1 + 2 \times 2\)

\(a_1 = 6 - 4 = 2\)

ג. \(a_{21} = 2 + 20 \times 2 = 2 + 40 = 42\)

\(S_{21} = \frac{(2 + 42) \times 21}{2} = \frac{44 \times 21}{2} = \frac{924}{2} = 462\)

פתרון:

זו סדרה חשבונית: 100, 110, 120, ...

\(a_1 = 100\), d = 10

א. \(a_{12} = 100 + 11 \times 10 = 100 + 110 = 210\) ₪

ב. \(S_{12} = \frac{(100 + 210) \times 12}{2} = \frac{310 \times 12}{2} = \frac{3720}{2} = 1860\) ₪

פתרון:

n = 16, d = −4 (השלבים קצרים יותר ככל שעולים)

\(S_{16} = 864\) ס"מ (8 מטר ו-64 ס"מ)

נסמן את השלב התחתון (הראשון): \(a_1 = ?\)

\(S_{16} = \frac{16}{2}[2a_1 + 15 \times (-4)]\)

\(864 = 8[2a_1 - 60]\)

\(108 = 2a_1 - 60\)

\(2a_1 = 168\)

\(a_1 = 84\) ס"מ

תשובה: אורך השלב התחתון הוא 84 ס"מ