הנוסחה \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\) מחשבת את סכום n האיברים הראשונים.

אבל מה אם רוצים לחשב סכום שלא מתחיל מ-\(a_1\)?

❌ לא קיימת נוסחה ישירה לסכום איברים אחרונים!

אבל יש שתי שיטות מעולות לפתור את זה 👇

נתונה סדרה חשבונית עם 19 איברים, הפרשה d.

מצא את: \(a_{12} + a_{13} + a_{14} + ... + a_{19}\)

כלומר: סכום 8 האיברים האחרונים (מאיבר 12 עד 19)

הרעיון: אם נחסר מ-\(S_{19}\) את \(S_{11}\), נקבל את הסכום מ-\(a_{12}\) עד \(a_{19}\)

\(a_{12} + a_{13} + ... + a_{19} = S_{19} - S_{11}\)

📐 נוסחה כללית:

\(a_k + a_{k+1} + ... + a_n = S_n - S_{k-1}\)

סכום מאיבר k עד איבר n = \(S_n\) פחות \(S_{k-1}\)

הרעיון: מתייחסים לאיברים האחרונים כסדרה חשבונית חדשה!

בדוגמה שלנו:

הסכום \(a_{12} + a_{13} + ... + a_{19}\) הוא סכום של סדרה חשבונית:

• מספר האיברים: 8 איברים (מ-12 עד 19)
• האיבר הראשון של הסדרה החדשה: \(a_{12}\)
• האיבר האחרון של הסדרה החדשה: \(a_{19}\)
• ההפרש: אותו d כמו בסדרה המקורית

📐 נוסחה:

\(a_{12} + ... + a_{19} = \frac{(a_{12} + a_{19}) \cdot 8}{2}\)

נתון: סדרה חשבונית: 3, 7, 11, 15, ...

מצא: סכום האיברים מ-\(a_5\) עד \(a_{10}\)

נתונים: \(a_1 = 3\), \(d = 4\)

1. בסדרה 5, 8, 11, 14, ... מצא את סכום האיברים מ-\(a_6\) עד \(a_{12}\).

2. בסדרה חשבונית \(a_1 = 10\), \(d = -2\). מצא \(a_8 + a_9 + ... + a_{15}\).

3. נתון \(S_{20} = 400\) ו-\(S_{15} = 240\). מצא את סכום 5 האיברים האחרונים.

💡 פתרונות:

1. \(a_6 = 20\), \(a_{12} = 38\), 7 איברים. סכום = \(\frac{(20+38) \times 7}{2} = 203\)

2. \(a_8 = -4\), \(a_{15} = -18\), 8 איברים. סכום = \(\frac{(-4-18) \times 8}{2} = -88\)

3. \(a_{16} + ... + a_{20} = S_{20} - S_{15} = 400 - 240 = 160\)