סדרה חשבונית - סכום איברים במקומות זוגיים/איזוגיים
סדרה חשבונית
סכום איברים במקומות זוגיים / אי-זוגיים
🎯 מה זה סכום איברים במקומות זוגיים/אי-זוגיים?
נתונה סדרה:
מקומות אי-זוגיים (1, 3, 5, 7, ...)
\(a_1, a_3, a_5, a_7, ...\)
מקומות זוגיים (2, 4, 6, 8, ...)
\(a_2, a_4, a_6, a_8, ...\)
💡 תצפית חשובה - גם אלו סדרות חשבוניות!
נתונה סדרה חשבונית: \(a_1 = 5\), \(d = 3\)
הסדרה: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, ...
האיברים במקומות האי-זוגיים:
\(a_1 = 5, \quad a_3 = 11, \quad a_5 = 17, \quad a_7 = 23, \quad a_9 = 29, ...\)
זו סדרה חשבונית עם הפרש 2d = 6
האיברים במקומות הזוגיים:
\(a_2 = 8, \quad a_4 = 14, \quad a_6 = 20, \quad a_8 = 26, \quad a_{10} = 32, ...\)
זו סדרה חשבונית עם הפרש 2d = 6
🔢 מקרה 1: מספר זוגי של איברים בסדרה
אם יש n איברים בסדרה, ו-n זוגי (למשל n = 10):
- \(\frac{n}{2}\) איברים במקומות אי-זוגיים
- \(\frac{n}{2}\) איברים במקומות זוגיים
✏️ דוגמה: סדרה חשבונית עם 10 איברים, \(a_1 = 2\), \(d = 3\)
הסדרה: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
סדרת האיברים במקומות האי-זוגיים:
\(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9\) = 2, 8, 14, 20, 26
- איבר ראשון: \(a_1 = 2\)
- הפרש: \(2d = 6\)
- מספר איברים: \(\frac{10}{2} = 5\)
סכום: \(S = \frac{(2 + 26) \times 5}{2} = \frac{140}{2} = 70\)
סדרת האיברים במקומות הזוגיים:
\(a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}\) = 5, 11, 17, 23, 29
- איבר ראשון: \(a_2 = 5\)
- הפרש: \(2d = 6\)
- מספר איברים: \(\frac{10}{2} = 5\)
סכום: \(S = \frac{(5 + 29) \times 5}{2} = \frac{170}{2} = 85\)
בדיקה: 70 + 85 = 155 = סכום כל הסדרה ✓
🔢 מקרה 2: מספר אי-זוגי של איברים בסדרה
אם יש n איברים בסדרה, ו-n אי-זוגי (למשל n = 9):
- \(\frac{n+1}{2}\) איברים במקומות אי-זוגיים (יותר!)
- \(\frac{n-1}{2}\) איברים במקומות זוגיים
✏️ דוגמה: סדרה חשבונית עם 9 איברים, \(a_1 = 2\), \(d = 3\)
הסדרה: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
סדרת האיברים במקומות האי-זוגיים:
\(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9\) = 2, 8, 14, 20, 26
מספר איברים: \(\frac{9+1}{2} = 5\)
סכום: \(\frac{(2 + 26) \times 5}{2} = 70\)
סדרת האיברים במקומות הזוגיים:
\(a_2, a_4, a_6, a_8\) = 5, 11, 17, 23
מספר איברים: \(\frac{9-1}{2} = 4\)
סכום: \(\frac{(5 + 23) \times 4}{2} = 56\)
בדיקה: 70 + 56 = 126 = סכום כל הסדרה ✓
📋 טבלת סיכום
| מקומות אי-זוגיים | מקומות זוגיים | |
|---|---|---|
| איבר ראשון | \(a_1\) | \(a_2\) |
| הפרש | \(2d\) | \(2d\) |
| מס' איברים (n זוגי) | \(\frac{n}{2}\) | \(\frac{n}{2}\) |
| מס' איברים (n אי-זוגי) | \(\frac{n+1}{2}\) | \(\frac{n-1}{2}\) |
✏️ דוגמה מתקדמת
נתון: סדרה חשבונית עם 20 איברים. \(a_1 = 4\), \(d = 5\)
מצא את סכום האיברים במקומות הזוגיים.
פתרון:
שלב 1: זיהוי הסדרה החדשה
האיברים במקומות הזוגיים: \(a_2, a_4, a_6, ..., a_{20}\)
שלב 2: מציאת הנתונים
איבר ראשון: \(a_2 = 4 + 5 = 9\)
איבר אחרון: \(a_{20} = 4 + 19 \times 5 = 99\)
הפרש: \(2d = 10\)
מספר איברים: \(\frac{20}{2} = 10\)
שלב 3: חישוב הסכום
\(S = \frac{(9 + 99) \times 10}{2} = \frac{1080}{2} = 540\)
📝 תרגילים
1. סדרה חשבונית עם 12 איברים, \(a_1 = 3\), \(d = 4\). מצא את סכום האיברים במקומות האי-זוגיים.
2. סדרה חשבונית עם 15 איברים, \(a_1 = 10\), \(d = -2\). מצא את סכום האיברים במקומות הזוגיים.
3. בסדרה חשבונית סכום כל 18 האיברים הוא 270. סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 153. מצא את \(d\).
💡 פתרונות:
1. מקומות אי-זוגיים: 6 איברים, \(a_1=3\), \(a_{11}=43\). סכום = \(\frac{(3+43) \times 6}{2} = 138\)
2. מקומות זוגיים: 7 איברים, \(a_2=8\), \(a_{14}=-16\). סכום = \(\frac{(8-16) \times 7}{2} = -28\)
3. סכום אי-זוגיים = 270 - 153 = 117. הפרש: 153 - 117 = 36 = \(9d\) → \(d = 4\)
📝 סיכום
איברים במקומות זוגיים/אי-זוגיים יוצרים סדרה חשבונית חדשה
הפרש הסדרה החדשה: 2d
n זוגי: שווה מספר איברים | n אי-זוגי: יותר אי-זוגיים