אנחנו יודעים ש:

\(3^2 = 9\)

כלומר: 3 בחזקת 2 שווה ל-9.

מהו הכיוון ההפוך?

נרצה לפי תוצאת החזקה (9) והמעריך (2) להגיע לבסיס (3).

\(\sqrt{9} = 3\)

המספר 3 הוא השורש הריבועי של 9

שורש מסדר n מסמנים כך:

\(\sqrt[n]{b}\)

n נקרא סדר השורש

💡 הגדרה:

כאשר נרצה לחשב את \(\sqrt[n]{b}\), נחפש מספר שאם נעלה אותו בחזקת n נקבל b.

דוגמאות:

כלל 1: הוצאת שורש קודמת לחיבור, חיסור, כפל וחילוק

דוגמה:

\(2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5\)

כלל 2: פעולה בתוך סוגריים קודמת להוצאת שורש

דוגמה:

\(\sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4\)

כלל 3: חזקה ושורש באותו ביטוי - משמאל לימין

דוגמה:

\(\sqrt{4}^3 = 2^3 = 8\) (קודם שורש, אח"כ חזקה)

שורש מסדר זוגי (2, 4, 6, ...)

שורש מסדר אי-זוגי (3, 5, 7, ...)

חוק 1: שורש של מכפלה = מכפלת השורשים

\(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)

דוגמאות:

\(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)

\(\sqrt{36} = \sqrt{4 \cdot 9} = 2 \cdot 3 = 6\)

חוק 2: שורש של מנה = מנת השורשים

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

(כאשר b > 0)

דוגמאות:

\(\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}\)

חוק 3: שורש כחזקה

\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)

דוגמאות:

\(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\)

חוק 4: שורש של חזקה

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

דוגמאות:

\(\sqrt{a^4} = a^{\frac{4}{2}} = a^2\)

\(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\)

חוק 5: שורש של שורש

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\)

דוגמאות:

\(\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2\)

\(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\)

הכנסת מספר לתוך השורש:

\(a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}\)

דוגמאות:

\(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)

\(2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{56}\)

הוצאת מספר מתוך השורש:

מפרקים את המספר שתחת השורש למכפלה של ריבוע שלם

דוגמאות:

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)

הרעיון: כופלים מונה ומכנה בשורש שבמכנה

\(\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}\)

דוגמאות:

\(\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)

\(\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

\(\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)