סטטיסטיקה 6 חציון שכיח מדדי מרכז
סטטיסטיקה
דף 6: מדדי מרכז - חלק ב' (חציון ושכיח)
🏆 שכיח (Mode)
שכיח = הערך שמופיע הכי הרבה פעמים בנתונים
סימון: Mo (מהמילה Mode)
📊 שכיח במשתנה בדיד:
✏️ דוגמה 1: ציונים: 70, 85, 85, 90, 85, 70, 95
70 מופיע 2 פעמים
85 מופיע 3 פעמים ← הכי הרבה!
90 מופיע 1 פעם
95 מופיע 1 פעם
השכיח: 85
💡 מקרים מיוחדים:
| מצב | דוגמה | תוצאה |
|---|---|---|
| דו-שכיחי | 70, 70, 85, 85, 90 | שני שכיחים: 70 ו-85 |
| רב-שכיחי | 70, 70, 85, 85, 90, 90 | שלושה שכיחים |
| אין שכיח | 70, 75, 80, 85, 90 | כולם פעם אחת - אין שכיח |
📊 שכיח במשתנה רציף (מקובץ):
קבוצה שכיחה = הקבוצה עם השכיחות הגבוהה ביותר
| קבוצה | שכיחות |
|---|---|
| 50-59 | 4 |
| 60-69 | 8 |
| 70-79 | 12 ← הכי גבוה |
| 80-89 | 10 |
| 90-99 | 6 |
הקבוצה השכיחה: 70-79
לפעמים מדווחים את אמצע הקבוצה כשכיח: 74.5
📍 חציון (Median)
חציון = הערך האמצעי כשהנתונים מסודרים מהקטן לגדול
סימון: Me (מהמילה Median)
📊 חציון בנתונים בדידים - n אי-זוגי:
✏️ דוגמה 2: 7 ציונים: 65, 78, 82, 70, 90, 85, 75
שלב 1: מסדרים מקטן לגדול
65, 70, 75, 78, 82, 85, 90
שלב 2: מוצאים את האמצעי
מיקום החציון = \(\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4\)
הערך במיקום 4 הוא 78
החציון: 78
📊 חציון בנתונים בדידים - n זוגי:
✏️ דוגמה 3: 6 ציונים: 65, 78, 82, 70, 90, 85
שלב 1: מסדרים
65, 70, 78, 82, 85, 90
שלב 2: יש שני ערכים אמצעיים
מיקומים: \(\frac{n}{2} = 3\) ו-\(\frac{n}{2}+1 = 4\)
הערכים: 78 ו-82
שלב 3: ממוצע שניהם
\(Me = \frac{78 + 82}{2} = 80\)
החציון: 80
💡 סיכום נוסחאות מיקום החציון:
| n | מיקום החציון |
|---|---|
| אי-זוגי | הערך במיקום \(\frac{n+1}{2}\) |
| זוגי | ממוצע הערכים במיקומים \(\frac{n}{2}\) ו-\(\frac{n}{2}+1\) |
📊 חציון מטבלת שכיחויות
✏️ דוגמה 4: מספר אחים (n = 30)
| מס' אחים (x) | שכיחות (f) | שכיחות מצטברת (F) |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 12 | 15 ← כאן! |
| 2 | 10 | 25 |
| 3 | 4 | 29 |
| 4 | 1 | 30 |
n = 30 (זוגי) → מיקומי החציון: 15 ו-16
מחפשים בעמודת F היכן "נופלים" מיקומים 15 ו-16:
F = 3 (כולל מיקומים 1-3)
F = 15 (כולל מיקומים 4-15) ← כאן נמצא מיקום 15
F = 25 (כולל מיקומים 16-25) ← כאן נמצא מיקום 16
מיקום 15 → x = 1, מיקום 16 → x = 2
\(Me = \frac{1 + 2}{2} = 1.5\)
החציון: 1.5
📊 חציון בנתונים מקובצים (רציף)
נוסחת אינטרפולציה לינארית:
\(Me = L + \frac{\frac{n}{2} - F_{prev}}{f_{Me}} \cdot h\)
| סימון | משמעות |
|---|---|
| L | גבול תחתון אמיתי של קבוצת החציון |
| n/2 | מיקום החציון |
| Fprev | שכיחות מצטברת של הקבוצה שלפני קבוצת החציון |
| fMe | שכיחות קבוצת החציון |
| h | רוחב הקבוצה |
✏️ דוגמה 5: ציוני 40 תלמידים
| קבוצה | f | F |
|---|---|---|
| 50-59 | 4 | 4 |
| 60-69 | 8 | 12 |
| 70-79 ← קבוצת החציון | 12 | 24 |
| 80-89 | 10 | 34 |
| 90-99 | 6 | 40 |
שלב 1: מיקום החציון = n/2 = 40/2 = 20
שלב 2: מוצאים את קבוצת החציון
F = 12 עדיין לא מכיל את מיקום 20
F = 24 כבר מכיל → קבוצת החציון היא 70-79
שלב 3: מציבים בנוסחה
L = 69.5, Fprev = 12, fMe = 12, h = 10
\(Me = 69.5 + \frac{20 - 12}{12} \times 10 = 69.5 + \frac{8}{12} \times 10 = 69.5 + 6.67 = 76.17\)
החציון: 76.17
⚖️ השוואה בין מדדי מרכז
| ממוצע | חציון | שכיח | |
|---|---|---|---|
| מה מודד | מרכז הכובד | הערך האמצעי | הנפוץ ביותר |
| רגיש לקיצונים? | כן! | לא | לא |
| משתמשים ב... | התפלגות סימטרית | התפלגות א-סימטרית | משתנה איכותי |
| יחיד? | תמיד יחיד | תמיד יחיד | יכול להיות כמה |
✏️ דוגמה להשפעת ערך קיצוני:
משכורות: 8000, 9000, 10000, 11000, 100000
ממוצע: 27,600 ₪ (מוטה בגלל הקיצוני)
חציון: 10,000 ₪ (מייצג יותר טוב)
שכיח: אין (כולם שונים)
💡 טיפים למבחן
שכיח: הנפוץ ביותר
חציון: קודם לסדר!
קיצוניים? העדיפו חציון
📝 סיכום דף 6
שכיח = הכי נפוץ | חציון = האמצעי
חציון עמיד לקיצוניים, ממוצע לא