משיק לפרבולה \(y^2 = 2px\)

בדף זה נלמד כיצד למצוא משוואת משיק לפרבולה מהצורה \( y^2 = 2px \), כאשר ידועה נקודה על הפרבולה או שיפוע המשיק.

הפרבולה:

\(y^2 = 2px\)

זוהי פרבולה הפתוחה ימינה. נקודת הראש (קודקוד) היא \( (0,0) \) ומוקד הפרבולה הוא \( \left(\frac{p}{2},0\right) \).

1. משיק לפרבולה בנקודה נתונה

אם הנקודה: \( A(x_0 , y_0) \) נמצאת על הפרבולה, כלומר:

 \(y_0^2 = 2p x_0\)

אז משוואת המשיק בנקודה זו היא:

\[ y y_0 = p(x + x_0) \]

זהו האלגוריתם המקובל והמהיר ביותר.

2. מציאת המשיק לפי שיפוע

אם השיפוע המבוקש הוא \( m \), נשתמש בכלל שמציין שמשיק לפונקציה חייב לגעת בה בדיוק בנקודה אחת.

נכתוב את המשיק הכללי:

\[ y = mx + b \]

נדרוש שלמשוואה המתקבלת בחיתוך עם הפרבולה יהיה שורש כפול:

\[ (mx + b)^2 = 2px \]

נפתח, נאסוף איברים ונדרוש דלתא = 0.

לאחר הפתרון נקבל:

\[ b = \frac{p}{m} \]

ולכן המשיק הוא:

\[ y = mx + \frac{p}{m} \]

3. מציאת נקודת ההשקה ממשוואת המשיק

המשיק בנקודה \( (x_0 , y_0) \) הוא:

\[ yy_0 = p(x + x_0) \]

אם ידועה משוואת המשיק, נוכל להשוות אותה לצורה הכללית ולמצוא את \( x_0 , y_0 \).

4. דוגמה מלאה

נמצא משיק לנקודה \( A(2p, 2\sqrt{p}) \) על הפרבולה.

נבדוק שהיא על הפרבולה:

\[ (2\sqrt{p})^2 = 4p = 2p(2) \quad \checkmark \]

נשתמש בנוסחה:

\[ yy_0 = p(x + x_0) \]

נציב:

\[ y(2\sqrt{p}) = p(x + 2p) \]

משוואת המשיק:

\[ y = \frac{p}{2\sqrt{p}}x + p\sqrt{p} \]

5. מסקנות חשובות

• לפרבולה מהצורה \( y^2 = 2px\)) יש נוסחת משיק פשוטה ואלגנטית.

• נוסחת הנקודה מניבה משיק ישירות ללא גזירה.

• נוסחת השיפוע מאפשרת למצוא משיק גם כשלא יודעים נקודת השקה.

משיק לפרבולה - פעילות ממטח