טריגונומטריה - מעגל היחידה
⭕ מעגל היחידה
4-5 יח"ל מתמטיקה |
1. מהו מעגל היחידה?
📌 הגדרה: מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים (0,0) ורדיוסו שווה ל-1.
משוואת המעגל: x² + y² = 1
משוואת המעגל: x² + y² = 1
לכל נקודה P על מעגל היחידה: P = (cos α, sin α)
כאשר α היא הזווית מציר x החיובי נגד כיוון השעון
כאשר α היא הזווית מציר x החיובי נגד כיוון השעון
2. המרה בין מעלות לרדיאנים
| מעלות | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| רדיאנים | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
3. סימני הפונקציות ברביעים
💡 טיפ לזכירה - "כל הסטודנטים טובים בחדו״א":
רביע I: כל (הכל חיובי)
רביע II: סינוס (רק sin חיובי)
רביע III: טנגנס (רק tan חיובי)
רביע IV: קוסינוס (רק cos חיובי)
רביע I: כל (הכל חיובי)
רביע II: סינוס (רק sin חיובי)
רביע III: טנגנס (רק tan חיובי)
רביע IV: קוסינוס (רק cos חיובי)
4. ערכים על מעגל היחידה
5. זוויות משלימות
| קשר | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| זוויות משלימות ל-90° (α ו-90°-α) |
sin(90°-α) = cos α | cos(90°-α) = sin α | tan(90°-α) = cot α |
| זוויות משלימות ל-180° (α ו-180°-α) |
sin(180°-α) = sin α | cos(180°-α) = -cos α | tan(180°-α) = -tan α |
| זווית שלילית (-α) |
sin(-α) = -sin α | cos(-α) = cos α | tan(-α) = -tan α |
📌 זוגיות הפונקציות:
- cos - פונקציה זוגית: cos(-α) = cos(α)
- sin - פונקציה אי-זוגית: sin(-α) = -sin(α)
- tan - פונקציה אי-זוגית: tan(-α) = -tan(α)
6. מחזוריות
sin(α + 360°) = sin α | cos(α + 360°) = cos α | tan(α + 180°) = tan α
מחזור sin ו-cos: 2π (או 360°) | מחזור tan: π (או 180°)
מחזור sin ו-cos: 2π (או 360°) | מחזור tan: π (או 180°)
🎯 לסיכום: מעגל היחידה הוא הכלי המרכזי להבנת הפונקציות הטריגונומטריות לכל זווית!