משוואות טריגונומטריות

משוואות טריגונומטריות

📐 משוואות טריגונומטריות

4-5 יח"ל מתמטיקה | 

1. משוואות בסיסיות - פתרון כללי

📌 משוואת סינוס: sin x = m

x = arcsin(m) + 2πk   או   x = π - arcsin(m) + 2πk

(כאשר -1 ≤ m ≤ 1, ו-k ∈ ℤ)

📌 משוואת קוסינוס: cos x = m

x = ± arccos(m) + 2πk

(כאשר -1 ≤ m ≤ 1, ו-k ∈ ℤ)

📌 משוואת טנגנס: tan x = m

x = arctan(m) + πk

(לכל m ∈ ℝ, ו-k ∈ ℤ)

sin x = m מחזור: 2π 2 פתרונות בכל מחזור x₁ = arcsin(m) x₂ = π - arcsin(m) cos x = m מחזור: 2π 2 פתרונות בכל מחזור x₁ = arccos(m) x₂ = -arccos(m) tan x = m מחזור: π פתרון אחד בכל מחזור x = arctan(m) (פשוט יותר!)

2. משוואות מהצורה sin(ax + b) = m

1 הצבה: נסמן t = ax + b
2 פתרון: נפתור sin t = m ונקבל t₁ ו-t₂
3 חזרה: נציב בחזרה ax + b = t ונמצא x
4 בדיקת תחום: אם יש תחום - נבדוק אילו פתרונות מתאימים
📝 דוגמה: פתור: sin(2x + π/6) = 1/2 בתחום [0, 2π]

פתרון:
נסמן t = 2x + π/6
sin t = 1/2
t = π/6 + 2πk   או   t = 5π/6 + 2πk

עבור t = π/6 + 2πk:
2x + π/6 = π/6 + 2πk
2x = 2πk
x = πk
בתחום [0, 2π]: x = 0, π, 2π

עבור t = 5π/6 + 2πk:
2x + π/6 = 5π/6 + 2πk
2x = 4π/6 + 2πk = 2π/3 + 2πk
x = π/3 + πk
בתחום [0, 2π]: x = π/3, 4π/3

פתרון סופי: x ∈ {0, π/3, π, 4π/3, 2π}

3. סוגי משוואות ושיטות פתרון

סוג משוואה דוגמה שיטת פתרון
משוואה בסיסית sin x = 1/2 שימוש בנוסחה הכללית
הוצאת שורש sin²x = 1/4 sin x = ±1/2, פתרון כל אחת
גורם משותף sin x · cos x = 0 sin x = 0 או cos x = 0
משוואה ריבועית 2sin²x - sin x - 1 = 0 הצבה t = sin x, פתרון ריבועית
אותה פונקציה בשני אגפים sin 2x = sin x 2x = x + 2πk או 2x = π - x + 2πk
שימוש בזהויות sin 2x = cos x המרה: 2sin x cos x = cos x

4. משוואות מיוחדות

א. משוואה מהצורה a·sin x + b·cos x = 0

a·sin x + b·cos x = 0
↓ חלוקה ב-cos x
a·tan x + b = 0
tan x = -b/a

ב. משוואה מהצורה sin α = sin β

📌 הפתרון:

α = β + 2πk   או   α = π - β + 2πk

ג. משוואה מהצורה cos α = cos β

📌 הפתרון:

α = β + 2πk   או   α = -β + 2πk

ד. משוואה מהצורה tan α = tan β

📌 הפתרון:

α = β + πk

5. פתרון בתחום נתון

שלב 1 מצא פתרון כללי x = ... + 2πk שלב 2 הצב k = 0, ±1, ±2... חשב ערכי x שלב 3 בחר רק פתרונות בתחום הנתון דוגמה: sin x = 0, תחום [0, 2π] פתרון כללי: x = πk k=0: x=0 ✓ | k=1: x=π ✓ | k=2: x=2π ✓ | k=3: x=3π ✗ פתרון: x ∈ {0, π, 2π}
⚠️ שים לב:
  • תמיד בדוק האם m נמצא בטווח המתאים (-1 ≤ m ≤ 1 עבור sin ו-cos)
  • אל תשכח לבדוק את שני הפתרונות לכל מחזור
  • זכור: מחזור tan הוא π ולא 2π!
  • בדוק האם יש הגבלות על התחום (למשל, חלוקה ב-cos x דורשת cos x ≠ 0)

6. טבלת ערכים מיוחדים

משוואה פתרון בסיסי פתרון כללי
sin x = 0 x = 0 x = πk
sin x = 1 x = π/2 x = π/2 + 2πk
sin x = -1 x = -π/2 x = -π/2 + 2πk = 3π/2 + 2πk
cos x = 0 x = π/2 x = π/2 + πk
cos x = 1 x = 0 x = 2πk
cos x = -1 x = π x = π + 2πk
tan x = 0 x = 0 x = πk
tan x = 1 x = π/4 x = π/4 + πk
💡 טיפ חשוב:
כשיש תחום מ-0 עד 2π, בדרך כלל יהיו:
• 2 פתרונות למשוואת sin (אם |m| < 1)
• 2 פתרונות למשוואת cos (אם |m| < 1)
• 2 פתרונות למשוואת tan
🎯 לסיכום: פתרון משוואות טריגונומטריות דורש זכירת הנוסחאות הבסיסיות ותשומת לב לתחום!