טריגונומטריה - משפט הקוסינוסים
📐 משפט הקוסינוסים
5 יח"ל מתמטיקה | שאלון 571
1. ניסוח המשפט
a² = b² + c² - 2bc · cos α
📌 הסבר:
ריבוע הצלע שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות, פחות מכפלתן הכפולה בקוסינוס הזווית שביניהן.
ריבוע הצלע שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות, פחות מכפלתן הכפולה בקוסינוס הזווית שביניהן.
2. שלוש צורות המשפט
💡 כלל זכירה:
הצלע שמחפשים בריבוע = סכום ריבועי שתי הצלעות האחרות - 2 × מכפלת הצלעות × קוסינוס הזווית שביניהן
הצלע שמחפשים בריבוע = סכום ריבועי שתי הצלעות האחרות - 2 × מכפלת הצלעות × קוסינוס הזווית שביניהן
3. נוסחה למציאת זווית
cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
4. מתי משתמשים במשפט הקוסינוסים?
📌 יתרון על משפט הסינוסים:
משפט הקוסינוסים נותן תמיד פתרון יחיד! אין מקרה מעורפל.
משפט הקוסינוסים נותן תמיד פתרון יחיד! אין מקרה מעורפל.
5. קשר למשפט פיתגורס
📐 משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס!
כאשר α = 90°, מתקיים cos 90° = 0, ולכן:
a² = b² + c² - 2bc · 0 = b² + c²
וזה בדיוק משפט פיתגורס! 🎉
6. סוג הזווית לפי סימן הקוסינוס
| ערך cos α | סוג הזווית α | סוג המשולש |
|---|---|---|
| cos α > 0 | זווית חדה (α < 90°) | a² < b² + c² |
| cos α = 0 | זווית ישרה (α = 90°) | a² = b² + c² (פיתגורס) |
| cos α < 0 | זווית קהה (α > 90°) | a² > b² + c² |
💡 מסקנה חשובה:
ניתן לקבוע האם משולש חד זוויות, ישר זווית או קהה זוויות רק מאורכי הצלעות!
ניתן לקבוע האם משולש חד זוויות, ישר זווית או קהה זוויות רק מאורכי הצלעות!
7. דוגמאות מפורטות
📝 דוגמה 1: מציאת צלע (צ.ז.צ)
במשולש ABC: b = 5, c = 7, α = 60°. מצא את a.
פתרון:
a² = b² + c² - 2bc · cos α
a² = 5² + 7² - 2 · 5 · 7 · cos 60°
a² = 25 + 49 - 70 · 0.5
a² = 74 - 35 = 39
a = √39 ≈ 6.24
במשולש ABC: b = 5, c = 7, α = 60°. מצא את a.
פתרון:
a² = b² + c² - 2bc · cos α
a² = 5² + 7² - 2 · 5 · 7 · cos 60°
a² = 25 + 49 - 70 · 0.5
a² = 74 - 35 = 39
a = √39 ≈ 6.24
📝 דוגמה 2: מציאת זווית (צ.צ.צ)
במשולש ABC: a = 7, b = 8, c = 5. מצא את הזווית α.
פתרון:
cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos α = (64 + 25 - 49) / (2 · 8 · 5)
cos α = 40 / 80 = 0.5
α = arccos(0.5) = 60°
במשולש ABC: a = 7, b = 8, c = 5. מצא את הזווית α.
פתרון:
cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos α = (64 + 25 - 49) / (2 · 8 · 5)
cos α = 40 / 80 = 0.5
α = arccos(0.5) = 60°
📝 דוגמה 3: סיווג משולש
האם המשולש עם צלעות 5, 6, 8 הוא חד זוויות, ישר זווית או קהה זוויות?
פתרון:
הזווית הגדולה ביותר נמצאת מול הצלע הארוכה ביותר (8).
cos γ = (5² + 6² - 8²) / (2 · 5 · 6)
cos γ = (25 + 36 - 64) / 60 = -3/60 = -0.05
מכיוון ש-cos γ < 0, הזווית γ קהה.
לכן המשולש קהה זוויות.
האם המשולש עם צלעות 5, 6, 8 הוא חד זוויות, ישר זווית או קהה זוויות?
פתרון:
הזווית הגדולה ביותר נמצאת מול הצלע הארוכה ביותר (8).
cos γ = (5² + 6² - 8²) / (2 · 5 · 6)
cos γ = (25 + 36 - 64) / 60 = -3/60 = -0.05
מכיוון ש-cos γ < 0, הזווית γ קהה.
לכן המשולש קהה זוויות.
8. השוואה: סינוסים vs קוסינוסים
| קריטריון | משפט הסינוסים | משפט הקוסינוסים |
|---|---|---|
| נתונים נדרשים | ז.ז.צ או ז.צ.ז או צ.צ.ז | צ.ז.צ או צ.צ.צ |
| מקרה מעורפל | יש (בצ.צ.ז) | אין! |
| קושי חישובי | פשוט יותר | מורכב יותר |
| שימוש מומלץ | כשיש זוויות | כשאין זוויות או צ.ז.צ |
🎯 לסיכום: משפט הקוסינוסים הוא הכלי המועדף כשנתונות 3 צלעות או 2 צלעות והזווית שביניהן!