טריגונומטריה - מעגל היחידה
טריגונומטריה על מעגל היחידה
דף 10: מבוא ומוטיבציה
❓ הבעיה: מה קורה מעבר ל-90°?
עד עכשיו: הגדרנו sin, cos, tan רק עבור זוויות חדות (0° עד 90°)
זה עבד כי עבדנו במשולש ישר זווית, ושם הזוויות החדות הן תמיד קטנות מ-90°.
אבל מה עם:
- sin(120°) = ?
- cos(180°) = ?
- sin(300°) = ?
- cos(-45°) = ?
אי אפשר לבנות משולש ישר זווית עם זווית של 120°!
💡 הפתרון: מעגל היחידה
במקום משולש - נשתמש במעגל!
מעגל מאפשר לנו לייצג כל זווית - גם גדולה מ-90°, גם שלילית, גם גדולה מ-360°
🎯 למה דווקא מעגל עם רדיוס 1?
כשהרדיוס = 1:
sin(α) = מול / יתר = מול / 1 = מול
cos(α) = ליד / יתר = ליד / 1 = ליד
הסינוס והקוסינוס הם פשוט הקואורדינטות של הנקודה!
sin = y, cos = x
✨ היתרונות של ההגדרה החדשה
| יתרון | הסבר |
|---|---|
| כל זווית | אפשר לחשב sin, cos לכל זווית |
| זוויות שליליות | סיבוב בכיוון השעון |
| זוויות גדולות מ-360° | יותר מסיבוב אחד |
| מחזוריות | רואים שהפונקציות מחזוריות |
| sin²+cos²=1 | נובע ישירות ממשוואת המעגל! |
🔗 הקשר להגדרה הקודמת
לזוויות חדות (0° עד 90°) - שתי ההגדרות נותנות אותו דבר!
ההגדרה החדשה מרחיבה את הישנה, לא מחליפה אותה.
📝 סיכום דף 10
ההגדרה במשולש מוגבלת לזוויות חדות
מעגל היחידה מאפשר הגדרה לכל זווית
r = 1 → הקואורדינטות הן sin ו-cos