טריגומטריה - משפט הסינוסים
טריגונומטריה במישור
דף 22: משפט הסינוסים
⭐ משפט הסינוסים
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
💡 במילים: היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה - קבוע בכל משולש!
📝 הוכחה
נשתמש בנוסחת השטח:
S = ½ab·sin(C) = ½bc·sin(A) = ½ac·sin(B)
נכפול ב-2 ונחלק ב-abc:
2S/abc = sin(C)/c = sin(A)/a = sin(B)/b
נהפוך:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ✓
🎯 מתי משתמשים במשפט הסינוסים?
כשיש צלע והזווית שמולה!
מקרה 1: נתונות שתי זוויות וצלע (ז.ז.צ.)
→ מצא את הזווית השלישית (סכום = 180°)
→ השתמש במשפט למציאת הצלעות
מקרה 2: נתונות שתי צלעות וזווית מול אחת מהן
→ מצא את הזווית השנייה
⚠️ זהירות: יכולים להיות 0, 1, או 2 פתרונות!
✏️ דוגמה
שאלה: במשולש ABC, זווית A = 30°, זווית B = 45°, וצלע c = 10. מצא את a.
פתרון:
1. זווית C = 180° - 30° - 45° = 105°
2. לפי משפט הסינוסים:
a/sin(30°) = c/sin(105°)
a/0.5 = 10/sin(105°)
a = 10 × 0.5 / sin(105°)
a ≈ 5.18
⭕ קשר לרדיוס המעגל החוסם
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
כאשר R = רדיוס המעגל החוסם את המשולש
📝 סיכום דף 22
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
משתמשים כשיש צלע והזווית שמולה
היחס שווה ל-2R (קוטר המעגל החוסם)