c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

📌 במילים:

ריבוע צלע = סכום ריבועי שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלת הצלעות כפול קוסינוס הזווית שביניהן.

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

💡 הכלל: צלע בריבוע = סכום ריבועי שתי הצלעות הכולאות את הזווית שמולה, פחות תיקון הקוסינוס.

מה קורה כשהזווית = 90°?

cos(90°) = 0

לכן: c² = a² + b² - 2ab·0 = a² + b²

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס!

פיתגורס = מקרה פרטי כשהזווית 90°

מצב 1: צצ"ז (צלע-צלע-זווית ביניהן)

נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן

→ מוצאים את הצלע השלישית

מצב 2: צצ"צ (שלוש צלעות)

נתונות שלוש הצלעות

→ מוצאים זווית כלשהי

💡 טיפ: אם יש לך צלע וזווית מולה (לא ביניהן) → השתמש במשפט הסינוסים

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

💡 הסבר: זו אותה נוסחה, רק מסודרת אחרת כדי לבודד את cos(C)

שאלה: במשולש ABC: a = 5, b = 7, זווית C = 60°. מצא את c.

פתרון:

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

c² = 5² + 7² - 2·5·7·cos(60°)

c² = 25 + 49 - 70·(½)

c² = 74 - 35 = 39

c = √39 ≈ 6.24

שאלה: במשולש ABC: a = 3, b = 5, c = 7. מצא את זווית C.

פתרון:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

cos(C) = (9 + 25 - 49) / (2·3·5)

cos(C) = (34 - 49) / 30 = -15/30 = -½

C = 120°

💡 שימו לב: cos שלילי → הזווית קהה (גדולה מ-90°)