🔹 1. מערכת צירים במרחב וייצוג אלגברי

➤ מערכת הצירים התלת־ממדית

מערכת הצירים במרחב כוללת שלושה צירים מאונכים:

\((x\text{-axis},\; y\text{-axis},\; z\text{-axis})\)

➤ ייצוג נקודה במרחב

נקודה \( P(x,y,z) \) מייצגת את קצהו של וקטור שמוצאו בראשית:

\( \vec{OP} = (x, y, z) \)

➤ ייצוג וקטור

וקטור במרחב נכתב כך:

\( \vec{v} = (a,b,c) \)

➤ פעולות אלגבריות:

• חיבור: \( (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) \)
• חיסור: \( (a,b,c)-(d,e,f)=(a-d,b-e,c-f) \)
• כפל בסקלר: \( k(a,b,c)=(ka,kb,kc) \)

➤ חלוקת קטע ביחס נתון

אם נקודה \( P \) מחלקת את הקטע \( AB \) ביחס \( \lambda : \mu \) אז:

\( P=\frac{\mu A + \lambda B}{\lambda+\mu} \)

➤ מכפלה סקלארית:

\( \vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z \)

🔹 2. הצגה פרמטרית של ישר

➤ ישר במרחב

ישר מוגדר על־ידי נקודה ווקטור כיוון:

\( \vec{r}(t)=\vec{P}+t\vec{v} \)

שזה מתורגם ל:

\( (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c) \)

➤ מצבים הדדיים בין ישרים:

• חותכים
• מקבילים
• מצטלבים

שני ישרים חותכים אם קיים \( t,s \) כך ש: \( \vec{r}_1(t)=\vec{r}_2(s) \)

🔹 3. מישור – פרמטרית ומשוואה

➤ הצגה פרמטרית של מישור

אם A נקודה במישור וקטורי הכיוון הם \( \vec{u},\vec{v} \) אז:

\( \vec{r}(s,t)=\vec{A}+s\vec{u}+t\vec{v} \)

➤ משוואת מישור

באמצעות וקטור נורמל \( \vec{n}=(A,B,C) \):

\( Ax+By+Cz+D=0 \)

➤ מצבים הדדיים בין מישורים וישר–מישור:

• מישורים מקבילים
• מישורים ניצבים
• מישור וישר חותכים
• מישור וישר מקבילים
• מישור וישר מאונכים

🔹 4. מרחקים במרחב

➤ מרחק בין שתי נקודות:

\( |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \)

➤ מרחק נקודה מישר:

\( d=\frac{|\vec{AP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \)

➤ מרחק נקודה ממישור:

\( d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \)

➤ מרחק בין ישרים מקבילים:

\( d=\frac{|\vec{AP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \)

➤ מרחק בין ישרים מצטלבים:

\( d=\frac{|(\vec{P_2}-\vec{P_1})\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|} {|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|} \)

🔹 5. זוויות במרחב

➤ זווית בין שני ישרים:

\( \cos\theta =\frac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|} \)

➤ זווית בין מישורים:

\( \cos\theta =\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} \)

➤ זווית בין ישר למישור:

\( \sin\theta =\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|} \)

📌 סיכום

מערכת הצירים במרחב מאפשרת לתאר וקטורים, ישרים ומישורים בצורה אלגברית ברורה. השימוש במכפלות סקלריות, וקטוריות, מרחקים וזוויות מביא לפתרון בעיות גאומטריות ברמה הגבוהה ביותר.