🔹 1. וקטורים – מושג בסיסי

וקטור מייצג גודל וכיוון. בפיזיקה: כוח, מהירות, תזוזה. במתמטיקה: אלמנט של מרחב וקטורי.

וקטור נכתב לרוב באמצעות חץ: \( \vec{v} \) , \( \overrightarrow{AB} \).

וקטור חופשי – ללא נקודת התחלה. וקטור קשור – מוצמד למיקום מסוים (למשל במרחב).

🔹 2. הגדרת וקטור גיאומטרי

הוקטור \( \overrightarrow{AB} \) מציין תנועה מהנקודה A לנקודה B.

שוויון וקטורים:
שני וקטורים שווים אם יש להם אותו כיוון ואותו אורך:
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \)

וקטור אפס:
\( \vec{0} \) — אורך 0, ללא כיוון.

🔹 3. פעולות על וקטורים

➤ חיבור וקטורים

חיבור מוגדר באמצעות כלל המקבילית או כלל "ראש לזנב":
\( \vec{u} + \vec{v} \)

תכונות:

• \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \) (קומוטטיביות)
• \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \) (אסוציאטיביות)
• \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \)
• \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)

➤ כפל וקטור בסקלר

לכל סקלר \( a \):
\( a\vec{u} \) הוא וקטור באותו כיוון, אך באורך מוכפל ב-a.
אם \( a < 0 \) — הכיוון מתהפך.

תכונות:

• \( 1\cdot \vec{u} = \vec{u} \)
• \( 0\cdot \vec{u} = \vec{0} \)
• \( a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} \)
• \( (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} \)
• \( (ab)\vec{u} = a(b\vec{u}) \)

➤ חיסור וקטורים

\( \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-1)\vec{v} \)

🔹 4. מאפייני המרחב הווקטורי

המרחב הווקטורי מקיים את כל אקסיומות המרחב הווקטורי (סגירות, יחידות, הפכי, קיבוץ). כלומר לכל וקטורים \( \vec{u},\vec{v},\vec{w} \) ולכל סקלרים \( a,b \):

• \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \)
• \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \)
• \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \)
• \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)
• \( a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} \)
• \( (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} \)
• \( (ab)\vec{u} = a(b\vec{u}) \)
• \( 1\cdot \vec{u} = \vec{u} \)

📌 סיכום

וקטורים הם שפה גיאומטרית-אלגברית אחידה. הבנה של החיבור, החיסור וכפל בסקלר היא בסיס לכל נושא במכניקה, גאומטריה אנליטית וחלל תלת-ממדי.