הגדרה אלגברית:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\)

התוצאה היא מספר (סקלר)!

הגדרה גיאומטרית:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\)

כאשר θ הזווית בין הוקטורים

דוגמאות:

\((1, 2, 3) \cdot (4, -1, 2) = 4 - 2 + 6 = 8\)

\((1, 0, -1) \cdot (2, 5, 2) = 2 + 0 - 2 = 0\)

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\) (חילוף)

\(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) (פילוג)

\((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\)

\(\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2\)

\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

זווית בין וקטורים:

\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)

✏️ דוגמה: מצאו את הזווית בין \(\vec{u} = (1, 1, 0)\) ו-\(\vec{v} = (0, 1, 1)\):

המכפלה הוקטורית של \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) ו-\(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\):

\(\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)\)

התוצאה היא וקטור!

💡 נוסחת הדטרמיננטה:

\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\)

✏️ דוגמה: חשבו \((1, 2, 3) \times (4, 5, 6)\):

\(\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})\) (אנטי-קומוטטיבית!)

\(\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}\) (פילוג)

\((k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v})\)

\(\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}\)

⭐ תכונה גיאומטרית חשובה:

\(\vec{u} \times \vec{v}\) מאונך גם ל-\(\vec{u}\) וגם ל-\(\vec{v}\)!

מכפלה סקלרית:

\(\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1\)

\(\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0\)

מכפלה וקטורית:

\(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\), \(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\), \(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\)

\(\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}\), \(\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}\), \(\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}\)

💡 כלל יד ימין:

i → j → k → i (בכיוון מעגל השעון = חיובי)

\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}\)

דוגמה: בדקו אם \((2, 4, 6)\) ו-\((1, 2, 3)\) מקבילים:

שטח מקבילית הנפרשת על \(\vec{u}\) ו-\(\vec{v}\):

\(S = |\vec{u} \times \vec{v}|\)

שטח משולש הנפרש על \(\vec{u}\) ו-\(\vec{v}\):

\(S = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|\)

✏️ דוגמה: מצאו שטח משולש עם קודקודים \(A(0,0,0), B(1,2,0), C(0,1,3)\):

בחלק הבא: ישרים ומישורים במרחב