ישר נקבע ע"י נקודה + וקטור כיוון:

• \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) - נקודה על הישר
• \(\vec{d} = (a, b, c)\) - וקטור כיוון

משוואה וקטורית:

\(\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d}\)

משוואות פרמטריות:

\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)

✏️ דוגמה: כתבו משוואת ישר העובר דרך \(P(1, 2, 3)\) עם וקטור כיוון \(\vec{d} = (2, -1, 4)\):

\(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\)

💡 מעבר מפרמטרית לקנונית:

מבודדים את t מכל משוואה ומשווים.

✏️ דוגמה: הישר \(x=1+2t, y=2-t, z=3+4t\) בצורה קנונית:

\(\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{4}\)

ישר דרך \(A(x_1, y_1, z_1)\) ו-\(B(x_2, y_2, z_2)\):

וקטור כיוון: \(\vec{d} = \overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\)

\(\frac{x - x_1}{x_2-x_1} = \frac{y - y_1}{y_2-y_1} = \frac{z - z_1}{z_2-z_1}\)

✏️ דוגמה: ישר דרך \(A(1,0,2)\) ו-\(B(3,1,5)\):

מישור נקבע ע"י נקודה + וקטור נורמל (מאונך למישור):

• \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) - נקודה על המישור
• \(\vec{n} = (A, B, C)\) - וקטור נורמל

משוואה כללית:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

כאשר \(\vec{n} = (A, B, C)\) הוא הנורמל!

💡 איך מוצאים D?

מציבים את הנקודה הידועה במשוואה ופותרים.

✏️ דוגמה: מישור דרך \(P(1, 2, 3)\) עם נורמל \(\vec{n} = (2, -1, 4)\):

שיטה:

1. יוצרים שני וקטורים מהנקודות: \(\overrightarrow{AB}\) ו-\(\overrightarrow{AC}\)
2. מוצאים נורמל: \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)
3. כותבים משוואת מישור עם הנורמל ואחת הנקודות

✏️ דוגמה: מישור דרך \(A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)\):

מרחק נקודה \(P(x_0, y_0, z_0)\) ממישור \(Ax + By + Cz + D = 0\):

\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

✏️ דוגמה: מרחק \(P(2, 1, -1)\) מהמישור \(2x - 2y + z - 5 = 0\):

שני מישורים מקבילים:

הנורמלים מקבילים: \(\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}\)

שני מישורים מאונכים:

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\)

ישר מקביל למישור:

\(\vec{d} \perp \vec{n}\) כלומר \(\vec{d} \cdot \vec{n} = 0\)

ישר מאונך למישור:

\(\vec{d} \parallel \vec{n}\)

🎉 סיום נושא וקטורים אלגבריים!