וקטור מיקום של נקודה A הוא הוקטור מראשית הצירים O לנקודה A:

\(\overrightarrow{OA}\)

💡 קשר בין נקודה לוקטור מיקום:

אם \(A = (a_1, a_2)\) אז וקטור המיקום הוא \(\overrightarrow{OA} = (a_1, a_2)\)

וקטור במישור מיוצג ע"י שני רכיבים:

\(\vec{v} = (v_1, v_2)\)

\(v_1\) = רכיב בכיוון x     \(v_2\) = רכיב בכיוון y

⭐ וקטור בין שתי נקודות:

אם \(A = (a_1, a_2)\) ו-\(B = (b_1, b_2)\) אז:

\(\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)\)

סיום פחות התחלה!

דוגמה:

אם \(A = (1, 3)\) ו-\(B = (4, 7)\) אז:

\(\overrightarrow{AB} = (4-1, 7-3) = (3, 4)\)

כל וקטור ניתן לכתוב כצירוף של וקטורי היחידה:

\(\vec{v} = (a, b) = a\hat{i} + b\hat{j}\)

דוגמה: \((3, -2) = 3\hat{i} - 2\hat{j}\)

אם \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) ו-\(\vec{v} = (v_1, v_2)\):

חיבור:

\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)\)

חיסור:

\(\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)\)

כפל בסקלר:

\(k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2)\)

דוגמאות:

\((3, 2) + (1, 5) = (4, 7)\)

\((3, 2) - (1, 5) = (2, -3)\)

\(4 \cdot (3, 2) = (12, 8)\)

אורך הוקטור \(\vec{v} = (a, b)\):

\(|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

💡 זה משפט פיתגורס!

הוקטור הוא היתר במשולש ישר-זווית עם ניצבים a ו-b.

דוגמאות:

\(|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|(1, 1)| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

\(|(-2, 3)| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

המרחק בין \(A = (x_1, y_1)\) ל-\(B = (x_2, y_2)\):

\(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

💡 שימו לב:

זה בדיוק אורך הוקטור \(\overrightarrow{AB}\)!

\(|AB| = |\overrightarrow{AB}|\)

דוגמה:

המרחק בין \(A = (1, 2)\) ל-\(B = (4, 6)\):

\(|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

וקטור יחידה בכיוון של \(\vec{v}\):

\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{|\vec{v}|}(v_1, v_2)\)

דוגמה:

מצאו וקטור יחידה בכיוון \(\vec{v} = (3, 4)\):

בדיקה: \(\left|\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\right| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1\) ✓

וקטורים שווים:

\((a, b) = (c, d) \iff a = c \text{ וגם } b = d\)

וקטורים מקבילים:

\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k \cdot \vec{v}\)

או: \((a, b) \parallel (c, d) \iff ad = bc\)

דוגמה:

האם \((2, 6)\) ו-\((3, 9)\) מקבילים?

בדיקה: \(2 \cdot 9 = 18\) וגם \(6 \cdot 3 = 18\)

מכיוון ש-\(ad = bc\), הוקטורים מקבילים! ✓

דוגמה 1: נתונות הנקודות \(A(2, 1)\), \(B(5, 3)\), \(C(1, 4)\).

מצאו את \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

דוגמה 2: מצאו וקטור באורך 10 בכיוון \(\vec{v} = (3, 4)\).

בחלק הבא: מכפלה סקלרית, זווית בין וקטורים