וקטורים גאומטרי חלק ה' - יישומים
וקטורים גיאומטריים - חלק ה'
יישומים: נקודת אמצע, חלוקת קטע והוכחות גיאומטריות
📍 נקודת אמצע של קטע
נקודת האמצע M של קטע AB כאשר \(A(x_1, y_1)\) ו-\(B(x_2, y_2)\):
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
💡 בעזרת וקטורים:
\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)
דוגמה: מצאו את אמצע הקטע AB כאשר \(A(2, 5)\) ו-\(B(8, -1)\):
\(M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (5, 2)\)
📐 חלוקת קטע ביחס נתון
נקודה P המחלקת את AB ביחס \(m:n\) (מ-A):
\(P = \left(\frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}, \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}\right)\)
💡 בעזרת וקטורים:
\(\overrightarrow{OP} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\)
✏️ דוגמה: מצאו נקודה P על AB המחלקת ביחס 2:3 מ-A.
נתון: \(A(1, 4)\), \(B(6, -1)\), \(m=2, n=3\)
\(x_P = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
\(y_P = \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1)}{5} = \frac{10}{5} = 2\)
\(P = (3, 2)\)
⚖️ מרכז כובד של משולש
מרכז הכובד G של משולש ABC:
\(G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)
💡 תכונות:
- נקודת מפגש התיכונים
- מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד
- \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
דוגמה: מרכז כובד של משולש \(A(0,0), B(6,0), C(3,6)\):
\(G = \left(\frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2)\)
📝 טכניקות הוכחה בעזרת וקטורים
| להוכיח | שיטה |
|---|---|
| ישרים מקבילים | \(\vec{u} = k\vec{v}\) |
| ישרים מאונכים | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) |
| נקודות על ישר אחד | \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) |
| מקבילית | \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) |
| קטעים שווים | \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\) |
✏️ הוכחה 1: קטע אמצעים במשולש
משפט: קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה.
הוכחה: במשולש ABC, M אמצע AB, N אמצע AC.
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)
\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
מסקנה: \(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{BC}\) ו-\(|MN| = \frac{1}{2}|BC|\) ✓
✏️ הוכחה 2: אלכסוני מקבילית חוצים זה את זה
משפט: אלכסוני מקבילית חוצים זה את זה.
הוכחה: במקבילית ABCD, נסמן M = אמצע AC.
במקבילית: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
אמצע AC: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})\)
אמצע BD: \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)
מכיוון ש-\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) (במקבילית)
נקבל: \(M = N\)
מסקנה: האלכסונים נחתכים באמצע! ✓
✏️ דוגמה מסכמת
שאלה: נתון מרובע ABCD עם \(A(0,0), B(4,2), C(6,6), D(2,4)\).
הוכיחו שהמרובע הוא מקבילית.
פתרון:
\(\overrightarrow{AB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)\)
\(\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-4) = (4, 2)\)
מכיוון ש-\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), הצלעות AB ו-DC מקבילות ושוות!
\(\overrightarrow{AD} = (2, 4)\)
\(\overrightarrow{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)\)
מכיוון ש-\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), גם AD ו-BC מקבילות ושוות!
מסקנה: ABCD היא מקבילית ✓
📋 טבלת סיכום - נוסחאות
| נושא | נוסחה |
|---|---|
| נקודת אמצע | \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) |
| חלוקה ביחס m:n | \(P = \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\) |
| מרכז כובד | \(G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\) |
💡 טיפים למבחן
אמצע: ממוצע הקואורדינטות
מקבילית: AB = DC
הוכחות: השתמשו בנוסחאות!
📝 סיכום חלק ה'
\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
מקבילית: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
🎉 סיום נושא וקטורים גיאומטריים!