יישומים בגאומטריית המרחב

📘 יישומים בגאומטריית המרחב

חישובי זוויות, אורכי קטעים, שטחים ונפחים בגופים מרחביים

בפרק זה נלמד כיצד להשתמש בכלים גאומטריים, טריגונומטריים ווקטוריים כדי לפתור בעיות מרחביות בגופים הבאים:

לב הדיון כולל שימוש בוקטורים לחישוב מרחקים, זויות בין ישרים או מישורים, שטחי מעטפת ונפחים.

בעיות במרחב כוללות לעיתים:

חישוב מרחק בין שתי נקודות במרחב:
\[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]
מרחק מנקודה לישר או למישור בעזרת וקטור נורמל
זווית בין שני ישרים:
\[ \cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \]
זווית בין ישר למישור:
\[ \sin\theta = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} \]
זווית בין שני מישורים בעזרת הנורמלים שלהם:
\[ \cos\phi = \frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} \]

ההבנה הוויזואלית של זוויות אלו חיונית לפיתוח ראייה מרחבית.

וקטור כ"אובייקט משמעותי": הווקטורים מאפשרים תיאור של כוחות, מהירויות, שינויים ומצבים פיזיקליים.
וקטור כצירוף לינארי: אם וקטור ניתן להצגה כצירוף לינארי של שני וקטורים בלתי־תלויים – הוא נמצא במישור המוגדר על ידם.
יחידות הצגה: כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה בעזרת שני וקטורים בלתי־תלויים, ובמרחב בעזרת שלושה.
זהות זווית לפני חישובה: הבנה גאומטרית של "מהי הזווית" חשובה לפני השימוש בנוסחאות.
כפל דרכים: עידוד פתרון בעיות גם בכלים וקטוריים וגם טריגונומטריים, והשוואה בין השיטות.
פיתוח ראייה מרחבית: שימוש בגופים פשוטים — כדור, גליל, חרוט — משפר משמעותית את הבנת המרחב.

וקטור גאומטרי כמחלקת שקילות: וקטורים שווים הם כאלו שמייצגים תזוזה זהה, ללא קשר למיקומם במרחב.
וקטורים כ־n־יות סדורות: המעבר מ־ \(\mathbb{R}^3\) ל־\(\mathbb{R}^n\) פותח את הדלת למרחבים וקטוריים ולמדעי המחשב.