טריגומטריה - משוואות מורכבות
משוואות טריגונומטריות
דף 20: משוואות מורכבות
📋 סוגי משוואות מורכבות
- משוואות ריבועיות - sin²x, cos²x
- משוואות עם הוצאת גורם משותף
- משוואות עם מספר פונקציות - sin ו-cos יחד
📐 משוואות ריבועיות
השיטה: הצבה t = sin(x) או t = cos(x)
פתור משוואה ריבועית ב-t
חזור ל-x
✏️ דוגמה: 2sin²x - 3sin(x) + 1 = 0
פתרון:
נציב t = sin(x):
2t² - 3t + 1 = 0
(2t - 1)(t - 1) = 0
t = ½ או t = 1
לכן:
sin(x) = ½ → x = π/6 + 2πn או x = 5π/6 + 2πn
sin(x) = 1 → x = π/2 + 2πn
🔢 הוצאת גורם משותף
⚠️ חשוב: לא לחלק בפונקציה טריגונומטרית!
במקום זה - להוציא גורם משותף
✏️ דוגמה: sin(x)·cos(x) = sin(x)
פתרון נכון:
sin(x)·cos(x) - sin(x) = 0
sin(x)·(cos(x) - 1) = 0
לכן:
sin(x) = 0 → x = πn
cos(x) = 1 → x = 2πn
❌ שגיאה נפוצה:
לחלק ב-sin(x) ולקבל רק cos(x) = 1
זה מאבד פתרונות!
🔄 שימוש בזהות sin²x + cos²x = 1
✏️ דוגמה: sin²x + 2cos(x) = 2
פתרון:
נשתמש ב-sin²x = 1 - cos²x:
(1 - cos²x) + 2cos(x) = 2
-cos²x + 2cos(x) - 1 = 0
cos²x - 2cos(x) + 1 = 0
(cos(x) - 1)² = 0
cos(x) = 1
x = 2πn
💡 טיפים חשובים
- נסה להביא לפונקציה אחת בלבד (sin או cos)
- השתמש בזהות sin²x + cos²x = 1 להמרה
- אל תחלק בפונקציה - הוצא גורם משותף
- בדוק שהפתרונות בתחום ההגדרה
- זכור: sin, cos ∈ [-1, 1]
📝 סיכום דף 20
ריבועית: הצבה t = sin/cos, פתור, חזור
גורם משותף: הוצא, אל תחלק!
זהות: sin² + cos² = 1 להמרה