שאלה 3

z=x+iy הוא מספר מרוכב

א. (1) הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות:

|z^2-i|=|z^2+3i|

היא y=-1/2x

(2) תנו דוגמה למספר מרוכב הנמצא על המקום הגיאומטרי הזה.

ב. פתרו את המשוואה: z^6=1.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של מצולע  I .

המקום הגאומטרי שמצוין בתת־סעיף א (1) חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע  I  בנקודה  A .

ג. מצאו את שיעורי הנקודה  A .

הנקודה  A  היא קודקוד של מצולע משוכלל אחר החסום באותו מעגל, מצולע  II .

נתון: מספר הקודקודים של מצולע II  שווה למספר הקודקודים של מצולע  I .

ד. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של מצולע  II .

נסמן: w=r cisa כאשר אלפה בין 0 ל 60 מעלות.

כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע  I  במספר  w , כך שקודקודי מצולע  I  מתלכדים עם

קודקודי מצולע  II .

ה. מצאו את  w .