שאלה 4

f(x) היא פונקצייה המוגדרת לכל x, ו- f'(x) היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל x.

נתון: \(f'(x)=-2x e^{-x^2/a}\), a הוא פרמטר.

לפונקצייה f(x) יש נקודת פיתול בנקודה שבה \(x=\sqrt2\)

א. מצאו את a

נתון: f(0)=a

ב. מצאו את הפונקציה f(x)

ג. (1) האם הפונקצייה  f(x)  היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x)  (אם יש כאלה).

(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה  f(x) , וקבעו את סוגה.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה  f(x) .

נתונות הפונקציות \(m(x)=e^{h(x)} , h(x)=\frac{1}{f'(x)}\), .

שלושה מבין הגרפים  IV–I  שבסוף השאלה מתארים את הפונקציות m(x) , h(x), f'(x).

ד. התאימו לכל פונקצייה את הגרף המתאר אותה.

ה. (1) מצאו את תחומי הירידה של הפונקצייה m(x).

(2) קבעו את הביטוי \(∫_1^2h(x)∙m(x) dx\) חיובי או שלילי. נמקו את קביעתכם.