גיאומטריה - דלתון ומשולש שווה שוקיים

1. דלתון ומשולש שווה שוקיים 

הדלתון הוא הפלטפורמה שעל גביה יש לתרגל את חפיפת המשולשים ואת הכתיבה המסודרת של הוכחה.

מיומנויות:

• זיהוי של משפט על סמך מושגים שהוגדרו
• הכרת הַכַּמָּת "כל"
• זיהוי של הנתונים ושל התוצאה המבוקשת
• הבנה של השתלשלות היסקית קצרה
• ספקנות לגבי נכונות טענות
• הנמקה של טענה בודדת
• זיהוי (קדם היסקי) של משולשים חופפים
• שימוש במשפטי חפיפה לנימוק החפיפה שזוהתה
• הסקת שוויון קטעים או זוויות מתוך משפטי החפיפה
• כתיבה פורמאלית קצרה
• שימוש במערכת צירים לצורך שרטוט צורות נתונות
• חישובי שטח והיקף

הגדרות:

• הדלתון הוא מרובע שלו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות השוות זו לזו.
• קדקוד של הדלתון, שהוא נקודת חיתוך של שתי צלעות (סמוכות) השוות זו לזו, נקרא קדקוד ראשי, והזווית בקדקוד זה נקראת זווית ראש. הזוויות בשני הקדקודים האחרים נקראות זוויות צד.
• האלכסון המחבר שני קדקודים ראשיים בדלתון נקרא האלכסון הראשי. האלכסון האחר נקרא האלכסון המשני.

דגשים:

1. בהוראת הנושא הראשון יש להניח את התשתית למיומנויות היסודיות של היסק בגיאומטריה:
   א. יש לדעת שטענה מתמטית מתייחסת לַכַּמָּת כל, גם אם אין הוא מנוסח במפורש.
   ב. יש ללמוד לנסח כל משפט או תרגיל במונחים של: "אם.... אזי ....".
   ג. יש ללמוד לזהות מהם הנתונים ומה צריך להוכיח בהסתמך על ניסוח המשפט.
   ד. יש להבין את ההשתלשלות ההיסקית של הוכחה נתונה.
   ה. יש לעורר בתלמידים ספקנות, ולהרגילם לבדוק נכונות ורלוונטיות של נימוקים. בפרט, מומלץ לנתח נימוקים שגויים או נימוקים שאינם רלוונטיים.
   ו. יש לזהות בכלים קדם-דדוקטיביים משולשים החופפים זה לזה. יש לדעת כיצד לברר האם הנתונים לגבי משולשים אלה תואמים לאחד ממשפטי החפיפה, ויש לדעת להוכיח את החפיפה בגישה דדוקטיבית.
   ז. התלמידים יידרשו לתכנן הוכחה ולנסחה. יש להקפיד שכל טענה משמעותית במהלך הוכחה תהיה מלווה בנימוק.
2. כלים העומדים בפני התלמידים לפיתוח חשיבה היסקית ולבניית הוכחות הם:
   א. סימון על גבי שרטוט.
   ב. קישור לידע קודם.
   ג. חשיבה לפנים מתוך הנתונים וחשיבה לאחור מתוך הנדרש להוכחה.
   ד. ניסוי וטעייה.
   ה. סיעור מוחות (דיון כיתתי).
3. יש ללמוד לנסח את הנתון במשפט או בתרגיל ואת מה שצריך להוכיח בו בכתיב פורמאלי.

1. יש ללמוד לכתוב  מקטעים של הוכחה פורמאלית.
2. לרשות התלמידים עומדים כלי תוכן שאותם רכשו בכיתות ז-ח (ראו סעיף 5 במבוא). מומלץ לחשוף את התלמידים לכלי תוכן אלה בהדרגה, ורק בהתאם לצרכים.
3. בפרקי הלימוד הראשונים, מומלץ שלא לחרוג ממבנים היסקיים פשוטים (עד שני שלבי היסק). בכל מקום שבו הדבר אפשרי יש להבליט את שרשרת ההיסקים המובילה למסקנה.
4. מיומנויות היסק נוספות נדחות לפרקים הבאים.
5. יש לנצל את הוראת הדלתון כדי לתרגל היסק הנוגע לחפיפת משולשים ולמשולש שווה שוקיים, או לנושאים אחרים שנלמדו בעבר.
6. יש לדעת להסיק שוויון קטעים או שוויון זוויות מתוך משפטי חפיפת משולשים.
7. יש להסיק תוצאות הנובעות מתכונות הדלתון.
8. לצד תרגילים היסקיים, יש לתרגל נושאים חישוביים הקשורים בדלתון ובשיבוצו במערכת צירים.

פירוט התוכן:

1. דלתון קמור מורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף.
2. במסגרת לימוד הדלתון יש לחזור על משפטים העוסקים במשולשים שווי שוקיים:
   א. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
   ב. במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
3. במסגרת הוראת הדלתון יש ללמוד משפטים שטרם נלמדו בנושא משולשים שווי שוקיים:
   א. משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים.
   ב. משולש שבו חוצה זווית מתלכד עם גובה הוא משולש שווה שוקיים.
   ג. משולש שבו תיכון מתלכד עם גובה הוא משולש שווה שוקיים.
4. יש להדגים לפני התלמידים דלתון קמור ודלתון קעור.
5. האלכסון הראשי של הדלתון הוא ציר סימטריה.
6. האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את זוויות הראש.
7. האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את האלכסון המשני.
8. האלכסונים בדלתון מאונכים זה לזה.
9. זוויות הצד בדלתון שוות זו לזו.
10. שטח הדלתון שווה למחצית מכפלת האלכסונים.