572/582 בגרות קיץ א 2024 שאלה 1

נתון מעגל  I  שמשוואתו \((x-3)^2+(y-4)^2=9\), ומרכזו בנקודה K.

נתון מעגל  II  שמשוואתו \((x+5)^2+(y-2)^2=1\), ומרכזו בנקודה L.

הנקודה  A  נמצאת על מעגל  I , והנקודה  B  נמצאת על מעגל  II .

מעבירים משיק למעגל  I  דרך הנקודה  A  ומשיק למעגל  II  דרך הנקודה  B . שני המשיקים נחתכים בנקודה  M .

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות  M  המקיימות MA=MB הוא קו ישר, ומצאו את משוואתו.

ב. (1) הראו כי הישר שאת משוואתו מצאתם בסעיף א והישר  KL  מאונכים זה לזה.

(2) האם קיימת נקודה  M  שמתקיים בעבורה ML=MK? נמקו את תשובתכם.

נתון כי בעבור אחת מן הנקודות  M , הנמצאת מעל הישר  KL , שטח המשולש  KLM  הוא  9 .

ג. מצאו את שיעורי הנקודה  M .

הנקודה  M  שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה \(y^2=2px\) , p הוא פרמטר.

ד. מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה  M .