572/582 בגרות קיץ א 2024 שאלה 3

במעוין  ABCD  הקודקוד  A  נמצא ברביע הראשון, והקודקוד  B  נמצא ברביע השני במישור גאוס.

אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים.

המספר המרוכב  z  מייצג את הקודקוד  A .

נתון: =2 BD AC .

א. הביעו באמצעות  z  את המספרים שמייצגים את הקודקודים  C , B  ו־ D .  

נסמן \(z=r(cos \theta+isin \theta)\)

ב. ענו על התת־סעיפים (1) ו־ (2). הביעו את תשובותיכם באמצעות r ו- \(\theta\)  אם יש צורך.

(1) כתבו הצגה קוטבית של ארבעת המספרים ההופכיים (1/z,...) למספרים המייצים את קודקודי המעוין.

(2) ארבעת המספרים שמצאתם בתת־סעיף ב(1) מייצגים קודקודים של מרובע.

מצאו את שטח המרובע שנוצר על ידי קודקודים אלה.

ג. נתונה המשוואה: \(w^{11}=\overline{w} \), w הוא מספר מרוכב השונה מ- 0.

מצאו את סכום  12  הפתרונות של המשוואה.

פתרונות המשוואה שבסעיף ג מייצגים קודקודים של מצולע ששטחו שווה לשטח המרובע שמצאתם בתת־סעיף ב(2).

ד. מצאו את הערך של  r .