כיתה ט' גיאומטריה - ישרים מקבילים וטרפז

לפי תכנית הלימוד של משרד החינוך (הועתק)

3. ישרים מקבילים וטרפז 

מיומנויות:

• מיומנות היסק בכל הנוגע לקשרים בין הקבלה וזוויות
• זיהוי (קדם היסקי) של ישרים מקבילים
• שימוש בקשרים בין הקבלה וזוויות לנימוק ההקבלה שזוהתה (זוג ישרים מקבילים יחיד)
• הסקת שוויון זוויות מתוך הקבלה

הגדרות:

• ישרים מקבילים הם ישרים הנמצאים באותו מישור ואינם נחתכים.
• טרפז הוא מרובע שבו יש זוג יחיד של צלעות המקבילות זו לזו.
  הצלעות המקבילות נקראות בסיסים, והצלעות האחרות נקראות שוקיים. המרחק בין שני הבסיסים נקרא גובה.

דגשים:

1. יש להמשיך ולהדגיש את כל המיומנויות שהוזכרו בנושא הקודם.
2. אם שני ישרים מקבילים זה לזה, אזי כל שתי זוויות מתחלפות ביניהם שוות זו לזו.
   טענה זו, שהוזכרה בכיתה ז', ונראית תואמת את המציאות שבה אנו חיים, איננה ניתנת להוכחה, ואנחנו מקבלים אותה כהנחת יסוד.
3. אם שתי זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות זו לזו, אזי שני הישרים מקבילים זה לזה.
   טענה זו ניתנת להוכחה, והוכחתה מבוססת על דרך השלילה. אפשר להוכיחה בשלב זה, אך אפשר לדחות את הוכחתה לשלב מאוחר יותר שבו תילמד באופן מסודר המיומנות של הוכחה בדרך השלילה.
4. המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא קבוע.
5. הקבלה בין ישרים היא תכונה טרנזיטיבית.
6. יש לדעת לבנות ישר המקביל לישר a והעובר דרך נקודה Q שמחוץ לישר a.
   דרך א:
   - מורידים אנך b מהנקודה Q לישר a.
   - מעלים אנך c לישר b מהנקודה Q.
   - לישרים a, c יש אנך משותף ולכן הם מקבילים.
   דרך ב:
   - מחברים את הנקודה Q עם נקודה P כלשהי הממוקמת על הישר a.
   - מעתיקים את הזווית שבין הישר a לבין הקטע PQ על הקטע PQ
     בקדקוד Q כך ששתי הזוויות תתחלפנה.
   - שוק הזווית החדשה והישר a מקבילים זה לזה.
7. בהוראת הטרפז יש לבסס את התשתית למיומנויות היסודיות של היסק בנושא ישרים מקבילים:
   א. יש לזהות ישרים מקבילים על סמך שתי זוויות מתחלפות השוות זו לזו, או על סמך שתי זוויות מתאימות השוות זו לזו או על סמך שתי זוויות חד-צדדיות שסכומן °180 (אין חובה ללמד את המושג זוויות חד צדדיות). יש לדעת לנמק את הסיבה להקבלה.
   ב. מכך ששני ישרים מקבילים זה לזה, יש לזהות שכל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו, או שכל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו או שסכום כל שתי זוויות חד-צדדיות הוא °180, ויש לדעת לנמק זאת בהתאם.
8. יש לנצל את הוראת הטרפז כדי לתרגל היסק בנושא זוג יחיד של ישרים מקבילים, זאת לפני העיסוק בשני זוגות של ישרים מקבילים שיבוא לידי ביטוי בפרק המקבילית.
9. יש להסתמך על הידע בבניות כדי להשתמש בבניות עזר בהוכחת משפטים.
10. במקרים שבהם הדבר אפשרי, יש להדגים דרכים שונות להוכיח אותו משפט.
11. במידת האפשר, מומלץ להציג לפני התלמידים יותר מדרך אחת לכתיבת הוכחה.

פירוט התוכן:

1. כדי להראות שמרובע כלשהו הוא טרפז, יש להראות ששתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו, וששתי הצלעות הנוספות אינן מקבילות זו לזו.
2. בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. משפט זה אפשר להוכיח במגוון דרכים ובאמצעות בניות עזר שונות (הורדת אנכים לבסיס הארוך משני קצות הבסיס הקצר, העברת מקביל לשוק דרך אחד מקדקודי השוק האחרת[1], הארכת שוקי הטרפז עד חיתוכן[2])
3. טרפז שבו זוויות הבסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. גם משפט זה אפשר להוכיח במגוון דרכים ובאמצעות בניות עזר שונות.
4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
5. האנך האמצעי לבסיסים בטרפז שווה שוקיים הוא ציר סימטרייה.
6. יש לדעת לחשב היקף ושטח של טרפז.