572 בגרות קיץ מועד ב 2023 שאלה 4

נתונה הפונקצייה \(f(x)=\frac{ln(x)+ln(a)}{ln(x)-ln(a)}\) , a הוא פרמטר גדול מ-1.

בסעיפים א–ג הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)

(2)  מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x)

(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
(4) מצאו את תחומי הירידה של הפונקצייה f(x) .
(5) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x) .

לפניכם טענה: למשוואהf(x)=f'(x) קיים בדיוק  פתרון אחד בתחום \(x>a\).

ב. קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקצייה g(x), המקיימת: g(x)=ln(f(x)).

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה )g(x .

(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה )g(x .

נסמןב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x),על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים 2=x ו־5=x.

נתון: \(1<a<2\).

ד. הביעו באמצעות S את ערך האינטגרל \(\int\limits_2^5 ln(2f(x)) dx\)