כיתה ט' אלגברה - טכניקה אלגברית
א. נוסחאות הכפל (מכפלת דו איבר בדו איבר):
(a – b)(a + b) = a2 – b2
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
פתיחת סוגריים, פירוק לגורמים ופתרון משוואות ריבועיות באמצעות השלמה לריבוע
נוסחאות הכפל הן מרכיב חשוב בטכניקה אלגברית ואריתמטית. נוסחאות אלה משמשות את התלמידים בפירוק לגורמים, בחקר של תופעות מספריות ובפתרון משוואות ריבועיות.
דגשים:
- יש לפתח את נוסחאות הכפל באמצעים אלגבריים, ולהדגים אותן באמצעים גיאומטריים
(בעבור מספרים חיוביים). - יש להרגיל את התלמידים להשתמש בנוסחאות הכפל בשני אופנים: בפתיחת סוגריים ובפירוק לגורמים.
- יש ללמוד להשתמש בנוסחאות הכפל בפתרון בעיות חשבוניות, כולל בחישוב מנטאלי. וכן יש להראות כיצד שימוש בסמלים אלגבריים מקנה שיטות מהירות ויעילות לביצוע חישובים אריתמטיים.
- יש ללמוד לצמצם שברים אלגבריים באמצעות פירוק לגורמים ובאמצעות נוסחאות הכפל.
- אם a2 = b2 אזי a = b או a = –b. אפשר להסיק זאת מהזהות הבאה: a2 – b2 = (a + b)(a – b)= 0
- א. יש להראות כיצד פיתוח הביטוי (a – b)2 נובע מהצגתו כ- (a + (–b))2.
ב. יש להראות כיצד פיתוח הביטוי (a – b)3 נובע מהצגתו כ- (a + (–b))3. - יש ללמוד להשלים תלת איבר x2 + bx + c לריבוע.
- יש ללמוד לפתור משוואות ריבועיות באמצעות ההשלמה לריבוע שבסעיף 7.
ב. פירוק של תלת-איבר ריבועי (טרינום ריבועי) x2 + bx + c ופתרון משוואות ריבועיות
המטרה בסעיף זה היא ללמוד לפרק תלת-איבר ריבועי למכפלה של דו-איברים ליניאריים במקרים שבהם זה אפשרי. פירוק זה שימושי בפתרון משוואות ריבועיות ובצמצום שברים.
שימו לב: הביטוי x2 + bx + c ייחשב תלת איבר ריבועי גם אם b ו/או c שווים לאפס.
דגשים:
- נוסחאות הכפל הן מקרה פרטי של פירוק תלת-איבר.
- כהטרמה לפירוק תלת-איבר כדאי לעסוק בפירוק לפי קבוצות (ראו דוגמה 1 בנספח). יש לעסוק בדוגמאות שבהן המקדם של האיבר הריבועי הוא 1.
- בשלב זה, פירוק של תלת-איבר מבוסס על ניסוי וטעייה, שבו יש למצוא שני מספרים שסכומם b ומכפלתם c. בהמשך תילמד דרך המבוססת על נוסחת השורשים.
- פירוק תלת-איבר משמש בפתרון משוואות ריבועיות. יש להרגיל את התלמידים לבדוק את נכונות הפתרונות באמצעות הצבה.
- פירוק לגורמים שימושי בצמצום שברים אלגבריים וכן בכפל או בחילוק של שברים אלגבריים.
- יש לעסוק במשוואות רציונאליות שאפשר לפתור באמצעות פירוק המכנה לגורמים.
- תחומי הצבה של שברים אלגבריים יכולים להשתנות כתוצאה מצמצום השבר. יש ללמד את התלמידים שתחום ההצבה נקבע על פי הביטוי המקורי. יש ללמוד להבחין בהבדלים בין הביטוי המקורי ובין הביטוי המצומצם באופן גרפי, ולהבליט הבדלים אלה אם הם אינם נראים לעין.
5 סרטונים
00:59:20
א. נוסחאות הכפל (מכפלת דו איבר בדו איבר):
(a – b)(a + b) = a2 – b2
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
פתיחת סוגריים, פירוק לגורמים ופתרון משוואות ריבועיות באמצעות השלמה לריבוע
נוסחאות הכפל הן מרכיב חשוב בטכניקה אלגברית ואריתמטית. נוסחאות אלה משמשות את התלמידים בפירוק לגורמים, בחקר של תופעות מספריות ובפתרון משוואות ריבועיות.
דגשים:
- יש לפתח את נוסחאות הכפל באמצעים אלגבריים, ולהדגים אותן באמצעים גיאומטריים
(בעבור מספרים חיוביים). - יש להרגיל את התלמידים להשתמש בנוסחאות הכפל בשני אופנים: בפתיחת סוגריים ובפירוק לגורמים.
- יש ללמוד להשתמש בנוסחאות הכפל בפתרון בעיות חשבוניות, כולל בחישוב מנטאלי. וכן יש להראות כיצד שימוש בסמלים אלגבריים מקנה שיטות מהירות ויעילות לביצוע חישובים אריתמטיים.
- יש ללמוד לצמצם שברים אלגבריים באמצעות פירוק לגורמים ובאמצעות נוסחאות הכפל.
- אם a2 = b2 אזי a = b או a = –b. אפשר להסיק זאת מהזהות הבאה: a2 – b2 = (a + b)(a – b)= 0
- א. יש להראות כיצד פיתוח הביטוי (a – b)2 נובע מהצגתו כ- (a + (–b))2.
ב. יש להראות כיצד פיתוח הביטוי (a – b)3 נובע מהצגתו כ- (a + (–b))3. - יש ללמוד להשלים תלת איבר x2 + bx + c לריבוע.
- יש ללמוד לפתור משוואות ריבועיות באמצעות ההשלמה לריבוע שבסעיף 7.
ב. פירוק של תלת-איבר ריבועי (טרינום ריבועי) x2 + bx + c ופתרון משוואות ריבועיות
המטרה בסעיף זה היא ללמוד לפרק תלת-איבר ריבועי למכפלה של דו-איברים ליניאריים במקרים שבהם זה אפשרי. פירוק זה שימושי בפתרון משוואות ריבועיות ובצמצום שברים.
שימו לב: הביטוי x2 + bx + c ייחשב תלת איבר ריבועי גם אם b ו/או c שווים לאפס.
דגשים:
- נוסחאות הכפל הן מקרה פרטי של פירוק תלת-איבר.
- כהטרמה לפירוק תלת-איבר כדאי לעסוק בפירוק לפי קבוצות (ראו דוגמה 1 בנספח). יש לעסוק בדוגמאות שבהן המקדם של האיבר הריבועי הוא 1.
- בשלב זה, פירוק של תלת-איבר מבוסס על ניסוי וטעייה, שבו יש למצוא שני מספרים שסכומם b ומכפלתם c. בהמשך תילמד דרך המבוססת על נוסחת השורשים.
- פירוק תלת-איבר משמש בפתרון משוואות ריבועיות. יש להרגיל את התלמידים לבדוק את נכונות הפתרונות באמצעות הצבה.
- פירוק לגורמים שימושי בצמצום שברים אלגבריים וכן בכפל או בחילוק של שברים אלגבריים.
- יש לעסוק במשוואות רציונאליות שאפשר לפתור באמצעות פירוק המכנה לגורמים.
- תחומי הצבה של שברים אלגבריים יכולים להשתנות כתוצאה מצמצום השבר. יש ללמד את התלמידים שתחום ההצבה נקבע על פי הביטוי המקורי. יש ללמוד להבחין בהבדלים בין הביטוי המקורי ובין הביטוי המצומצם באופן גרפי, ולהבליט הבדלים אלה אם הם אינם נראים לעין.